Чтобы колебания были незатухающими, нужно восполнять потери энергии, затраченной на работу против сил сопротивления. Это можно сделать, воздействуя на систему периодически действующей силой , где w — частота, а F0 — амплитудное значение внешней силы.
Уравнение вынужденных колебаний получим из уравнений затухающих колебаний (21.32), записав в правой части вместо нуля выражение для вынуждающей силы, деленное на массу:
, | (21.47) |
Если колебательная система первоначально покоилась, то при воздействии периодической силы она придет в колебательное движение с частотой, равной частоте вынуждающей силы, и с постоянно возрастающей амплитудой. Далее, когда потери энергии на работу против сил сопротивления будут компенсироваться работой вынуждающей силы, система будет колебаться с некоторой постоянной амплитудой.
Решение дифференциального уравнения (21.47) для этого случая будет иметь вид
, | (21.48) |
Для нахождения амплитуды A и начальной фазы j вынужденных колебаний найдем первую и вторую производные по x:
|
|
и совместно с (21.48) подставим в (21.47). В результате получим
. | (21.49) |
Для определения амплитуды A умножим (21.49) на комплексно-сопряженное выражение, т.е. на
.
Тогда ,
откуда
. | (21.50) |
Для вычисления начальной фазы вынужденных колебаний приравняем к нулю и мнимую часть (21.49):
, |
откуда
. | (21.51) |
Проанализируем теперь зависимости амплитуды и начальной фазы колебаний от частоты вынуждающей силы w. При w=0 . Эта величина называется статической амплитудой. Далее по мере нарастания частоты w амплитуда сначала возрастает, а затем при w ® ¥ A ® 0, т.е. при некоторой частоте вынуждающей силы зависимость A(w) будет иметь максимум. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при называется резонансом. Частота , при которой , называется резонансной.
Для нахождения резонансной частоты заметим, что амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения, когда подкоренное выражение в (21.50) минимально. В минимуме первая производная равна нулю:
,или ,
откуда после несложных преобразований находим
, | (21.52) |
Максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний найдем, подставив из (21.52) в (21.50):
. | (21.53) |
Из (21.52) видно, что резонанс всегда наблюдается при частоте, меньшей, чем частота собственных колебаний системы, причем по мере роста коэффициента затухания b уменьшается как значение резонансной частоты, так и резонансной амплитуды (рис. 21.15).
Рис. 21.15 |
Как видно из формулы (21.51), при w=0 j=0, а при w ® ¥ j ® p. Графическая зависимость j(w) показана на рис. 21.16.
Рассмотрим теперь зависимость скорости системы, совершающей вынужденные колебания, от частоты вынуждающей силы.
|
|
Скорость системы в любой момент определяется выражением
,
Рис. 21.16 |
из которого видно, что амплитудное значение скорости
,
Согласно (21.50) это выражение можно записать в виде
или
. | (21.54) |
Рис. 21.17 |
Нетрудно видеть, что при w ® 0 или w ® ¥ скорость v ® 0 и, следовательно, зависимость v(w) имеет вид, изображенный на рис. 21.17.
Приравнивая к нулю производную подкоренного выражения в (21.54), получаем wр ® w0, т.е. максимальное значение скорости (резонанс скоростей) наблюдается на частоте собственных колебаний системы и не зависит от значения коэффициента затухания.
Важной характеристикой резонансной кривой является ее ширина, т.е. интервал частот Dw вблизи от резонанса, в пределах которого A £ 0,7Ap. Можно показать, что ширина резонансной кривой однозначно связана с коэффициентом затухания — Dw = 2b, что позволяет определять этот важный параметр колебательной системы по графику зависимости A(w).
Исследование колебательных систем методом возбуждения в них вынужденных колебаний и последующего изучения резонансной кривой позволяет (также как и при изучении затухающих колебаний) определить коэффициент затухания и собственную частоту колебаний системы.