Задание 1. Решить систему уравнений а) методом Жордана-Гаусса; б) методом модифицированных жордановых исключений. Найти все базисные решения системы.
Задание 2. Решить систему уравнений а) по формулам Крамера; б) матричным способом.
Задание 3. Выяснить является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой, в случае линейной зависимости привести пример нетривиальной линейной комбинации, равной нулевому вектору (представить один из векторов в виде линейной комбинации остальных).
21. а1 = (1; 2; 3; 4), а2 = (4; 3; 2; 1), а3 = (5; 5; 5; 5).
22. а1 = (1; 1; 1; 1), а2 = (1; 2; 3; 4), а3 = (1; 3; 3; 1).
23. а1 = (1; 3; 3; 6), а2 = (2; 3; 0; 3), а3 = (1; 2; 1; 3).
24. а1 = (1; 1; 1; 1), а2 = (1; -1; 1; -1), а3 = (2; 3; 1; 4).
25. а1 = (0; 2; 4; 6), а2 = (-1; 0; 1; 1), а3 = (2; 4; -1; 3).
26. а1 = (4; 3; 2; 1), а2 = (1; 2; 3; 4), а3 = (5; 6; 5; 0).
27. а1 = (1; 3; 2; -4), а2 = (1; 2; 0; 4), а3 = (2; 4; 0; 8).
28. а1 = (4; 3; 2; 1), а2 = (2; 3; 4; 5), а3 = (6; 6; 6; 6).
29. а1 = (1; 2; 0; 3), а2 = (2; 1; 3; 4), а3 = (1; 0; 3; -2).
30. а1 = (0; 1; 1; 2), а2 = (1; 2; 3; 1), а3 = (1; 2; 3; -4).
Задание 4. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в R 3 базис и разложить вектор а4 по этому базису.
|
|
31. а1 = (2; 1; 3), а2 = (-4; -2; -1), а3= (3; 4; 5), а4 = (1; 3; 2).
32. а1 = (2; 1; 4), а2 = (-3; 5; 1), а3= (1; -4; -3), а4 = (2; -5; -4).
33. а1 = (2; 3; 1), а2 = (-1; 2; -2), а3= (1; 2; 1), а4 = (2; -2; 1).
34. а1 = (1; 2; 1), а2 = (2; -1; 3), а3= (3; -1; 4), а4 = (5; 1; 6).
35. а1 = (2; 2; -1), а2 = (0; 4; 8), а3= (-1; -1; 3), а4 = (1; 1; 2).
36. а1 = (1; -2; 1), а2 = (1; 1; 1), а3= (-1; 1; 1), а4 = (2; 3; 6).
37. а1 = (3; -2; 2), а2 = (-1; 1; -1), а3= (0; 1; 4), а4 = (5; 0; 15).
38. а1 = (5; 1; 4), а2 = (0; -1; 1), а3= (4; 2; 2), а4 = (1; 0; 1).
39. а1 = (2; 3; 1), а2 = (2; 2; 1), а3= (-1; -3; -2), а4 = (4; 7; 3).
40. а1 = (2; -1; 4), а2 = (1; -2; 2), а3= (-1; 2; 1), а4 = (-4; 14; 7).
Задание 5. Дана матрица А линейного оператора в . 1). Построить матричный оператор, заданный матрицей А. 2). Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы). 3). Привести квадратичную форму, заданную матрицей А в , к каноническому виду, а также найти ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид. 4). Построить линии уровня квадратичной формы.
41. А= . | 46. А= . |
42. А= . | 47. А= . |
43. А= . | 48. А= . |
44. А= . | 49. А= . |
45. А= . | 50. А= . |
Задание 6. Дан треугольник с вершинами A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3). Найти:
(а) уравнение стороны АС;
(б) уравнение высоты АК;
(в) длину средней линии MP/BC;
(г) угол ^ ;
(д) точку пересечения высот треугольника.
51. А (-4,0), B (-2,6), C (2,2).
52. A (-3,0), B (-1,6), C (3,2).
53. A (-2,0), B (0,6), C (4,2).
54. A (-1,0), B (1,6), C (5,2).
55. A (0,0), B (2,6), C (6,2).
56. A (1,0), B (3,6), C (7,2).
57. A (2,0), B (4,6), C (8,2).
58. A (3,0), B (5,6), C (9,2).
59. A (4,0), B (6,6), C (10,2).
60. A (-5,0), B (-1,6), C (1,2).
Задание 7. Найти:
а) уравнение прямой , проходящей через точки А(x 1, y 1, z 1); B(x 2, y 2, z 2).
б) уравнение плоскости , проходящей через точки 0(0, 0, 0), С(0, y 3, 1) параллельно прямой .
в) пересечение прямой с плоскостью H: с x +a y + z +1=0.
61. A(1,2,3), B(3,4,4), C(0,-3,1), H: 3 x + y +2 z +1=0.
62. A(1,1,2), B(3,2,3), C(0,-4,1), H: 2 x + y + z +1=0.
63. A(1,1,1), B(3,3,2), C(0,-4,1), H: x + y + z +1=0.
|
|
64. A(1,1,3), B(3,2,4), C(0,-4,1), H: 3 x + y + z +1=0.
65. A(2,1,1), B(5,2,2), C(0,-4,1), H: x +2 y + z +1=0.
66. A(2,2,1), B(5,4,2), C(0,-3,1), H: x +2 y +2 z +1=0.
67. A(3,2,1), B(7,4,2), C(0,-3,1), H: x +3 y +2 z +1=0.
68. A(3,2,2), B(7,4,2), C(0,-3,1), H: 2 x +3 y +2 z +1=0.
69. A(4,1,1), B(9,2,2), C(0,-4,1), H: x +4 y + z +1=0.
70. A(4,2,1), B(9,4,2), C(0,-3,1), H: x +4 y +2 z +1=0.
Задание 8. Решить графическим методом задачу линейной оптимизации
81. 82.
83. 84.
85. 86.
87. 88.
89. 90.
Задание 9. Решить симплексным методом задачу линейной оптимизации:
.
Задание 10. Решить транспортную задачу (в верхней строке таблицы указаны потребности bj в грузе пунктов назначения, в левом столбце – запасы ai груза в пунктах отправления, в остальных клетках – тарифы cij):
ai/bj | ||||
101. 102.
ai/bj | ||||
103. 104.
ai/bj | ||||
ai/bj | ||||
105. 106.
ai/bj | ||||
ai/bj | ||||
ai/bj | ||||
ai/bj | ||||
107. 108.
109. 110.
ai/bj | ||||
ai/bj | ||||
Методические указания по курсу линейной алгебры
В методических указаниях даны примеры решения задач, поясняющих применение основных теоретических результатов и некоторых приложений линейной алгебры. Задачи охватывают основные вопросы линейной алгебры: системы линейных уравнений, матрицы, линейное пространство, линейные операторы и квадратичные формы, линейное программирование. По ходу решения приведены некоторые теоретические понятия, знание которых необходимо для решения задач.