Пусть задана функция и можно вычислить , то есть значение этой функции в точке . Требуется вычислить значение этой функции в точке .
Если данная функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная к графику функции (см. рис. 56). Тогда приращение функции можно представить в виде:
.
Главную часть линейную относительно приращения независимой переменной в последнем равенстве, то есть выражение называют дифференциалом функции в точке и обозначают . Итак, .
При , то есть при приращение функции приближенно равно дифференциалу :
или .
Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений функций в точке.
Пример. Вычислить .
Решение. Рассмотрим функцию . Пусть , тогда , откуда .
,
.
Следовательно, .
Ответ: .
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то есть , так как . Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле:
.
Пример. Найти дифференциал функции .
Решение. , тогда .