1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости
Величину заряда, приходящуюся на единицу поверхности, называют поверхностной плотностью s:
(3.30)
![]() | Пусть плоскость заряжена положительно с поверхностной плотностью заряда +s=const. Из соображений симметрии силовые линии имеют вид прямых, перпендикулярных плоскости и выходящих из положительных зарядов (рис.3.11). |
Найдем напряженность в точке A (рис.3.12).
![]() | В соответствии с законом Кулона для нахождения величины ![]() ![]() ![]() ![]() |
Поверхность обычно берут такой, чтобы максимально просто можно было бы вычислить ее площадь. В случае заряженной плоскости этой поверхностью является цилиндрическая, у которой образующая перпендикулярна плоскости. Поскольку линии перпендикулярны заряженной плоскости и угол aмежду вектором
и нормалью к основаниям цилиндра равен нулю, следовательно, cosa=1. Для боковой же поверхности
. Угол a’=90°, следовательно, cosa=0 и
.
|
|
Итак, общий поток вектора через замкнутую цилиндрическую поверхность
равен сумме потоков через два основания
и
и потоку через боковую поверхность
:
(3.31) где
- берем элементарные площадки одинаковой величины.
Суммарный заряд внутри цилиндра . Тогда по теореме Гаусса запишем:
и получаем:
(3.32)
Найдем разность потенциалов поля между точками 1 и 2 на расстоянии x1 и x2 от плоскости:
откуда получим:
(3.33)
2. Поле бесконечной нити, заряженной с линейной плотностью l
Линейная плотность заряда – заряд, приходящийся на единицу длины:
(3.34)
![]() | Для нахождения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Разность потенциалов между точками 1 и 2 поля, лежащими на расстоянии r1 и r2 от оси цилиндра:
(3.36)
3. Поле заряженной сферической поверхности
![]() | Проводим вокруг полой металлической сферы сферическую поверхность радиусом rA (рис.3.14). Поток вектора через эту поверхность
![]() ![]() ![]() |
Из (3.37) видно, что выражение для получилось таким же, как и для точечного заряда.
Внутри сферы, например в т.B, величина =0, т.к заряд внутри сферы, проведенной через т. B, равен нулю. Величина
и
.
Разность потенциалов
(3.38)
Шар, представляющий собой диэлектрик, может быть внутри равномерно заряжен с объемной плотностью . Поток вектора
через поверхность радиусом r<R (R – радиус шара) равен
. Заряд внутри сферы радиусом r равен:
.
|
|
По теореме Гаусса
и
(3.39)
За пределами равномерно заряженного шара выражение для EA будет таким же, как и полученное нами для полой сферы , только величина q будет равняться rV:
(3.40)
Разность потенциалов для точек, лежащих на расстоянии r>R от центра шара:
(3.41)
и для точек, лежащих на расстоянии r<R от центра шара:
(3.42)