№1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
а) Почленно поделив числитель подынтегральной дроби на знаменатель, будем иметь
.
Тогда
б) Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла, тем самым сводя исходный интеграл к сумме табличных интегралов:
в)
г) .
Здесь мы воспользовались свойством 5 неопределенного интеграла и формулой 4 пункта 7.3.
№2. Найти интегралыметодом подстановки:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
а)
б)
в)
г)
№3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:
а) ;
б) .
Решение.
а) Положим , откуда . Тогда по формуле (6.4.1) находим
б) (*)
К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. Положим , тогда , следовательно,
Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим
Варианты заданий
№7.1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж)
з) ;
и) ;
к) ;
л) ;
м) .
№7.2. Найти интегралы методом подстановки:
|
|
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) ;
л) ;
м) .
№7.3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) .
Контрольные вопросы
1. Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?
2. Дайте определение, в том числе виде математического выражения, неопределенного интеграла.
3. Что такое подынтегральная функция? Подынтегральное выражение?
4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. Запишите эти свойства в виде математических выражений.
5. Воспроизведите таблицу основных интегралов. Докажите справедливость записанных выражений с использованием операции дифференцирования.
6. В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? метод интегрирования по частям?
7. Какие функции в подынтегральном выражении рекомендуется выбирать в качестве и и dv при интегрировании по частям?
8. Назовите основные типы интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям.
9. Что называется рациональной дробью? Как выделить из неправильной рациональной дроби и правильную дробь? Как разложить правильную дробь на сумму простейших?