Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка и частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
1) y²-2y¢+5y=x2+1, y0=-3; y¢0=-0,2; x0=0.
Решение:
Найдём сначала общее решение соответствующего уравнения без правой части`у, затем какое – либо частное решение у* данного уравнения, а затем прибавим его к общему решению соответствующего уравнения без правой части`у. В сумме получится общее решение данного уравнения: у=у*+`у.
Cоставим характеристическое уравнение для y²-2y¢+5y=0
k2-2k+5=0, оно имеет два различных мнимых корня: k1,2=1±2i, тогда`у =ex(С1cos2x+С2sin2x), где С1=const, С2=const - общее решение соответствующего уравнения без правой части.
Ищем решение в виде: у*=Ax2+Bx+С;
у*¢=2Ax+B; у*²=2A.
Подставим полученные выражения в заданное уравнение и получим:
2A-4Ах-2В+5Ax2+5Bx+5С=x2+1
5Ax2+(5B-4А)х+(2A-2В+5С)=x2+1
А=0,2; В=0,16; С=0,184.
у*=0,2x2+0,16x+0,184 - частное решение.
Итак, общее решение данного уравнения: у=ex(С1cos2x+С2sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184, где С1=const, С2=const.
Ищем теперь частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
|
|
у=ex(С1cos2x+С2sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184
у¢=ex(С1cos2x+С2sin2x-2С1sin2x+2С2cos2x)+0,4x+0,16
-3=С1+0,184 Þ С1=-3,184;
-0,2=С1+2С2+0,16 Þ С2=1,412
у=ex(-3,184cos2x+1,412sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184
Ответ: у=ex(С1cos2x+С2sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184 и
у=ex(-3,184cos2x+1,412sin2x)+0,2x2+0,16x+0,184.
2) y²-5y¢+6y=2cosx, y(0)=3; y¢0=0,5.
Решение:
Cоставим характеристическое уравнение для y²-5y¢+6y=0
k2-5k+6=0, оно имеет два различных действительных корня: k1=2, k2=3, тогда`у =С1e2х +С2e3х, где С1=const, С2=const - общее решение соответствующего уравнения без правой части.
Ищем решение в виде: у*=Acosx+Bsinx;
у*¢=-Asinx+Bcosx; у*²=-Acosx-Bsinx.
Подставим полученные выражения в заданное уравнение и получим:
-Acosx-Bsinx-5(-Asinx+Bcosx)+6(Acosx+Bsinx)=2cosx;
-Acosx-Bsinx+5Asinx-5Bcosx+6Acosx+6Bsinx=2cosx;
(-A-5B+6A)cosx+(-B+5A+6B)sinx=2cosx;
у*=0,2cosx-0,2sinx - частное решение.
Итак, общее решение данного уравнения: у=С1e2х+С2e3х+0,2cosx-0,2sinx, где С1=const, С2=const.
Ищем теперь частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
у=С1e2х+С2e3х+0,2cosx-0,2sinx; у¢=2С1e2х+3С2e3х-0,2sinx-0,2cosx
у=7,7e2х-4,92e3х+0,2cosx-0,2sinx - частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
Ответ: у=С1e2х+С2e3х+0,2cosx-0,2sinx и у=7,7e2х-4,92e3х+0,2cosx-0,2sinx.