1) Пусть векторы и
коллинеарны. Докажем, что существуют два числа a, b Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел не равно нулю и a
+ b
= q.
1 случай. = q или
= q.
Если = q, возьмем a = 1 и b = 0, тогда a
+ b
= 1 ´ q + 0 ´
= q + q = q.
Если = q, то по аналогии возьмем a = 0 и b = 1.
2 случай. ≠ q и
≠ q.
По определению коллинеарности векторов существует число l ≠ 0 такое, что = l
.
Возьмем a = l, b = -1, тогда a + b
= l
+ (-1)
=
+ (-
) = q.
2) Пусть a + b
= q и из чисел a и b хотя бы одно не равно нулю.
Так как a + b
= q, то a
= - b
.
Если a ≠ 0, то = -
, и векторы коллинеарны
и
по определению (см. § 9).
Если a = 0, то b ≠ 0 и вектор = q, то есть векторы
и
коллинеарны.