Оптимизационные модели в экономике. Способы нахождения оптимальных решений

Оптимизационные модели – это социально-экономические модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребленияи др.

Данные модели основаны на математическом аппарате теории программирования ("планирование"). Математическое программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. Характерные черты задач ЛП следующие:

1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X = (x₁,x₂,...,x_n). В качестве показателя оптимальности часто выступают экономические показатели: выручка, себестоимость, прибыль и пр.;

2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств. Ограничения в экономических задачах могут быть по спросу, по запасам ресурсов, по трудоемкости, по затратам времени и пр.

Целевая функция (ЦФ)

L(X)= c₁x₁ + c₂x₂ +... + c_nx_n →max (min),

при ограничениях

Основные правила построение оптимизационной модели: число ограничений (m) должно быть больше либо равно числу искомых переменных x; в ограничения левая и правая части должны иметь одинаковые единицы измерения.

Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = (x₁, x₂, … x_n), удовлетворяющих ограничениям задачи. Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.

В случае, если количество искомых величин х две, то удобно решение задачи представить в графической форме.

Каждое из неравенств задачи ЛП определяет на координатной плоскости (x₁,x₂) некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.

ЦФ L(X)= c₁x₁ + c₂x₂ при фиксированном значении L(X) = L определяет на плоскости прямую линию c₁x₁ + c₂x₂ = L. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня. Для нахождения оптимальной точки Х^*=(х₁^*, х₂^*) линии уровня путем параллельного переноса передвигаются вниз (если функция L стремиться к минимуму) или вверх (если функция L стремиться к максимуму).

Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня Lmax (Lmin), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции L(X). Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР. При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.

В случае, если количество искомых величин х более двух, то применяют метод перебора всех возможных вариантов с помощью ЭВМ (в Excel это надстройка «Поиск решения»).

На основе оптимизационных моделей были созданы различные вариации экономических задач:

- задача о размещении (транспортная задача) – это задача линейного программирования (ЛП), в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи (ТЗ) является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.Для решения транспортных задач применяются метод северо-западного угла и метод Фогеля.

- распределительная задача ЛП – это РЗ, в которой работы и ресурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Типичным примером такой задачи является организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов.