Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил. Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
(2.1)
Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 12), то вес каждого отрезка можно представить в виде произведения:
,
где d – постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.
рис.12 рис.13
После подстановки в формулы (2.1) вместо их значений постоянный множитель в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:
(2.2)
Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 13), то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:
|
|
,
где – площади каждой поверхности, а – вес единицы площади фигуры.
После подстановки этого значения в формулы (2.1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:
(2.3)
Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 14), то вес каждой части , где – объем каждой части, а – вес единицы объема тела.
После подстановки значений в формулы (2.1) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов:
(2.4)
При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.
Если известен радиус дуги и центральный угол , стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести С (рис. 15, а) относительно центра дуги О определится формулой
. (2.5)
Если же задана хорда () дуги, то в формуле (2.5) можно произвести замену
и тогда
. (2.5а)
В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 184, б)
. (2.5б)
Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус (рис. 15, в), определяется при помощи формулы
. (2.6)
Если же задана хорда сектора, то . (2.6а)
рис.14 рис.15
В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 15, г)
. (2.6-б)
Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.
У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 16).
|
|
При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:
1) выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить в масштабе;
2) разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из известных размеров по чертежам;
3) определить длины (площади, объемы) составных частей;
4) выбрать расположение осей координат или оно уже известно;
5) определить координаты центров тяжести составных частей;
6) найденные значения подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;
7) по найденным координатам указать на рисунке положение рис.16
8) центра тяжести для всего тела.