Контрольный пример

1 2 3 4 5

Приведем пример оптимизации производственной программы предприятия при ограничениях на трудоемкость и металлоемкость.

Пусть нормы трудоемкости изготовления трех изделий имеют значения:

= 0,2 (чел.-час); = 0,1 (чел.-час); = 0,3 (чел.-час),

а нормы металлоемкости тех же изделий – значения:

= 3 (кг); = 5 (кг); = 2 (кг).

Суммарная трудоемкость производственной программы определяется величиной

= 4250 (чел.-час),

а суммарная металлоемкость –

= 52000 (кг).

Изделия отпускаются с предприятия по ценам за штуку:

= 1000 (руб); = 2500 (руб); = 3000 (руб).

Задача оптимизации производственной программы предприятия может быть сформулирована следующим образом: указать производственную программу (распределение объемов производства изделий) ( ), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:

y = 1000 + 2500 + 3000 ;

0,2 + 0,1 + 0,3 = 4250;

3 + 5 + 2 = 52000;

0, 0, 0.

В пространстве переменных ( ) первое из ограничений (по трудоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

( = 4250/0,2 = 21250, = 0, = 0) ;

( = 0, = 4250/0,1 = 42500, = 0) ;

( = 0, = 0, = 4250/0,3 = 14166,6) .

Графическое изображение этой плоскости приведено на рис. 1.

Второе ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

( = 52000/3 = 17333,3, = 0, = 0) ;

( = 0, = 52000/5 = 10400, = 0) ;

( = 0, = 0, = 52000/2 = 26000) .

Плоскость также изображена на рис. 1.

Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает следующее:

- линия пересечения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0, = 0, = 0 в точках соответственно. Ограничения трудоемкости и металлоемкости линейно независимы;

- условия 0, 0, 0 определяют отрезок линии пересечения, лежащей между координатными плоскостями = 0, = 0, а конец этого отрезка суть точки и . Следовательно, оптимальная производственная программа существует (ограничения по трудоемкости и металлоемкости сбалансированы) и реализуется либо в точке , либо в точке ;

- точка содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программой служить не может.

Рис.1. Графическое изображение плоскостей-ограничений в контрольном примере

Находим координаты точки = ( ) решая систему уравнений:

0,1 + 0,3 = 4250,

5 + 2 = 52000.

Получаем: = 0;

= (4250*2 – 0,3*52000)/(0,1*2 – 0,3*5) = 5461,5;

= (0,1*52000 – 4250*5)/(0,1*2 – 0,3*5) = 12346,2.

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

= 2500*5461,5 + 3000*12346,2 = 50692350.

Находим координаты точки = ( ), решая систему уравнений:

0,2 + 0,3 = 4250,

3 + 2 = 52000.

Получаем:

= (4250*2 – 0,3*52000)/(0,2*2 – 0,3*3) = 14200;

= 0;

= (0,2*52000 – 4250*3)/(0,2*2 – 0,3*3) = 4700.

= 1000*14200 + 3000*4700 = 28300000.

При вычислении координат точки = ( ) путем решения системы уравнений

0,2 + 0,1 = 4250,

3 + 5 = 52000,

получаем:

= (4250*5 – 0,1*52000)/(0,2*5 – 0,1*3) = 22928,6;

= (0,2*52000 – 4250*3)/(0,2*5 – 0,1*3) = - 3357,1;

= 0.

Значение второй компоненты отрицательное, что ранее было замечено (см. рис. 1). В этом случае значение целевой функции можно вычислить:

1000*22928,6 – 2500*3357,1 = 14535850,

но согласно алгоритму решения задачи мы полагаем доход предприятия равным нулю, = 0.

Расположим полученные значения целевой функции в порядке возрастания:

0 = < = 28300000 < = 50692350.

Можно видеть, что оптимальной является первая производственная программа, соответствующая наибольшему значению целевой функции.

Опуская дробные части в значениях объемов производства, приходим к выводу:

- изделия первого типа не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия –

= 0;

- объем производства изделий второго типа запланировать в количестве

= 5461 (шт.);

- объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве

= 12346 (шт.).

При этом предприятие получит наибольший возможный доход:

= 2500*5461 + 3000*12346 = 50690500 (руб)., т.е. 50.6905 млн.руб.

Незначительным резервом трудоемкости и остатком металла, получающимися в результате опускания дробных частей в значениях объемов производства, по существу задачи можно пренебречь.

Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.

Таблица 1

Оптимальная производственная программа предприятия