Комплексными числами называются числа вида:
,
где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица (i 2 = -1).
Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа:
Число называется комплексно сопряженным числу z.
Комплексное число может быть представлено точкой на плоскости xy (рис. 1.1).
Рисунок 1.1 – Геометрическое представление комплексного числа
Длина радиус-вектора точки, изображающей комплексное число на плоскости xy, называется модулем комплексного числа:
,
а угол φ между радиус-вектором и осью Ox – аргументом комплексного числа:
.
Видно, что:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
.
В математике доказывается соотношение:
, (1.1)
которое называется теоремой Эйлера.
Заменив φ на –φ, получим:
. (1.2)
Из (1.1) и (1.2) следует, что:
,
.
Используя теорему Эйлера, комплексное число можно записать в показательной форме:
Основные операции с комплексными числами: