Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей Pi(t) при . В некоторых случаях существуют финальные (предельные) вероятности состояний:
,
не зависящие от того, в каком состоянии система S находилась в начальный момент. Говорят, что в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которою она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний Рi уже не меняются. Система, для которой существуют финальные вероятности, называется эргодической, а соответствующий случайный процесс – эргодическим.
Финальные вероятности состояний (если они существуют) могут быть получены путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если приравнять производные к нулю, а вероятностные функции состояний Р1(t),..., Рn(1) в правых частях уравнений (3.3) заменить соответственно на неизвестные финальные вероятности Р1,..., Рn.
Таким образом, для системы S с n состояниями получается система n линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными P1, …, Рn, которые можно найти с точностью до произвольного множителя. Для нахождения точного значения P1, …, Рn к уравнениям добавляют нормировочное условие Р1 + Р2 +...+ Pn = 1, пользуясь которым можно выразить любую из вероятностей Рi через другие и отбросить одно из уравнений.
|
|
Пример 3. Имеется размеченный граф состояний системы S (рис. 3.4). Необходимо составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и записать начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент система находилась в состоянии S1.
Рис. 3.4. Граф состояний системы
Решение
Согласно приведенному мнемоническому правилу, система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид
Начальные условия при t = 0:
P1 = 1; P2 = P3 = P4 = P5 = 0.
Рассмотрим, что произойдет с системой S, описываемой дифференциальными уравнениями Колмогорова, при . Известно, что в случае сообщающихся состояний функции P1(t), P2(t), …, Pn(t) стремятся к предельным (финальным) вероятностям состояний системы S. Финальные вероятности не зависят от времени. Поэтому в системе дифференциальных уравнений Колмогорова все левые части уравнений (производные) принимают равными нулю. При этом система дифференциальных уравнении превратится в систему линейных алгебраических уравнений.
Для нашего примера система будет иметь вид
Решая ее, с учетом условия Р1 + Р2 +.P3 + P4+ P5 = 1, получим все предельные вероятности. Эти вероятности представляют собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.
|
|
Для существования финальных вероятностей одного условия lij = const недостаточно, требуется выполнение еще некоторых условий, проверить которые можно по графу состояний, выделив в нем так называемые существенные и несущественные состояния.
Состояние Si называется существенным, если нет другого состояния Sj, т.е. такого, что, перейдя однажды каким-то способом из Si в Sj, система уже не может вернуться в Si.
Все состояния, не обладающие таким свойством, называются несущественными.
Рассмотрим пример, представленный на рис. 3.5.
Рис. 3.5. Граф состояний системы S
Состояния S1, S2 и S5 - несущественные, так как из S1 можно уйти, например, в состояние S2 и не вернуться, a из состояния S2 - в состояние S3 или S4 и не вернуться; аналогично из состояния S5 - в состояние S6 и S7. Состояния S3, S4, S6 и S7 - существенные состояния.
При конечном числе состояний для существования финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каждого существенного состояния можно было (за какое-то число шагов) перейти в каждое другое существенное состояние.
Граф из примера рис. 3.5 этому условию не удовлетворяет, так как из существенного состояния S4 нельзя перейти в существенное состояние S7. Если система S имеет конечное число состояний S1, S2,..., Sn, то для существования финальных вероятностей достаточно, чтобы из любого состояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое состояние.
Если число состояний бесконечно, то это условие перестает быть достаточным, и существование финальных вероятностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивности lij.
Задача 1. Построить систему дифференциальных уравнений для следующей системы:
Задача 7. Физическая система S имеет возможные состояния: S1, S2, S3, S4. Вычислить предельные вероятности состояний.