Пусть у некоторой выбранной точки D тела наблюдается плоское напряжённое состояние (рис. 33а,б).
Выделим в окрестности точки призму abca'b'c' (рис. 33в), на грани bb'с′с которой (рис. 33г) действует нормальное напряжение σα и касательное τα (п – нормаль к этой грани, t – касательная). Рассмотрим равновесие данной призмы, приняв площадь наклонённой грани bb'с'с за dА. Тогда площадь грани abb'a', перпендикулярной оси х – dAcosα, а грани aa′c′c, перпендикулярной оси у – dAsinα. На грани abb'a', относительно которой на угол α повернута площадка bb'с′с, направление касательного напряжения τху = τ принято положительное.
Сумма проекций всех сил на нормаль п:
Приняв τху= τух= τ и сократив на dА, получим формулу для определения нормальных напряжений на площадке bb'с′с:
. (6.11)
Проецируя все действующие силы на направление касательной t к наклонной площадке, получим:
.
После несложных преобразований получим формулу для определения касательных напряжений на площадке bb'с′с:
|
|
. (6.12)
Формула для определения положения главных площадок, т. е. площадок, на которых касательные напряжения равны нулю, следует из выражения (6.12) при :
. (6.13)
Углы α0 и ,найденные по формуле (6.13), определяют положение главных площадок около анализируемой т. А. Подстановкой найденных значений углов α0 и в выражение (6.11) для напряжений σα получим значения главных напряжений (σ2 = 0):
. (6.14)
Максимальное значение касательных напряжений в теле:
. (6.15)
Значение возникает на площадке, параллельной вектору и делящей пополам угол между первой и третьей главными площадками.