Теорема. Пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и F(х) – первообразная для f(х).Тогда
(*)
Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно,
подставляя х=b, получим
а подставляя х=а, получим
поэтому
Если F(х) – другая первообразная для функции f(х), то выполняется равенство F(х)= Ф(х)+С. Имеем
F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)
что завершает доказательство формулы (*). Разность F(b)-F(a) часто записывают в виде
и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид:
(**)
Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b] функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х), имеющей первообразную F(x)/
Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.