а) (q, x) = (0× x, x) = 0(x, x) = 0;
б) (x, a y) = (a y, x) = a(y, x) = a(x, y);
в) (x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z);
г) .
Последнее свойство говорит о том, что для того чтобы задать скалярное произведение в пространстве V достаточно задать скалярное произведение базисных векторов: g ij = (ei, ej). При этом g ij = g ji. Элементы g ij образуют матрицу, называемую матрицей Грамма. Матрица Грамма в евклидовом пространстве симметрична.