В аналитической геометрии при рассмотрении направление результирующего вектора устанавливается условно в зависимости от выбора системы координат. В физике такая ситуация встречается при определении направления векторов угловой скорости, момента сил и др..
В то же время направление таких векторов, как скорость, ускорение, сила определяется физическим смыслом и не зависит от выбора системы координат.
В свете этого:
Для ортогональных преобразований: ,
Поэтому все линейные ортогональные преобразования разбиваются на два класса: класс собственных линейных ортогональных преобразований, для которых (непрерывные преобразования) и класс несобственных линейных ортогональных преобразований, для которых Δ = –1 (преобразования отражения).
В зависимости от закона преобразования компонент по отношению к этим классам линейных ортогональных преобразований все тензорные величины можно разделить на истинные тензоры (или просто тензоры) и псевдотензоры.
Def: Псевдотензоры – это величины компоненты, которых преобразуются по закону: .
|
|
Напомним, что для истинного тензора закон преобразования имеет вид:
.
Из законов преобразования тензоров и псевдотензоров легко убедиться, что:
1°. Сумма двух псевдотензоров – псевдотензор.
2°. Произведение двух псевдотензоров – истинный тензор.
3°. Произведение псевдотензора на истинный тензор – псевдотензор.
4°. Свертка псевдотензора дает псевдотензор низшего ранга.
Примеры: 1) Если , то =
, т.е. V¢ = D× V, где D = ±1.
Таким образом, V согласно определению, есть псевдотензор нулевого ранга, т.е. псевдоскаляр.
2) Символ Кронекера d ik представляет собой единичный, симметричный, инвариантный относительно ортогонального преобразования системы координат, истинный тензор 2го ранга.
3) В паространстве Е 3 в фиксированной системе координат К с ортами е 1, е 2, е 3 рассмотрим величины e ikl = (ei ´ ek) el.
Ясно, что в правой системе координат: e123 = e231 = e312 = 1; e213 = e132 = e321 = –1. Остальные e ikl равны нулю.
Рассмотрим, как преобразуются величины e ikl при линейных ортогональных преобразованиях. Перейдем в систему К¢ с ортами е 1¢, е 2¢, е 3¢:
e i ¢ k ¢ l ¢ = (ei ¢´ ek ¢) el ¢ = (рi ¢ i ei ´ рk ¢ k ek) рl ¢ l el = рi ¢ i рk ¢ k рl ¢ l (ei ´ ek) el.
Если k и k ¢ – обе правые (или левые), то e ikl = (ei ´ ek) el. Если k и k ¢ разной ориентации, то: –e ikl = (ei ´ ek) el . Тогда: e i ¢ k ¢ l ¢ = рi ¢ i рk ¢ k рl ¢ l e ikl ×D (D = ±1, в зависимости от того рассматривается собственное или несобственное преобразование)
По определению величины e ikl образуют псевдотензор 3го ранга. Он называется алгебраическим символом Леви-Чивита и образует единичный абсолютно антисимметричный псевдотензор 3го ранга, инвариантный относительно любого ортогонального преобразования координат.
|
|
Легко видеть, что
4) Непосредственным вычислением можно убедиться, что , свертка
по индексам l и c дает: , свертка еще по двум индексам k и b дает: e ikl e akl = 2d ia, и наконец полная свертка приводит к: e ikl e abc = 6.
5) С помощью символа Леви-Чивита легко получить, например, известную формулу для двойного векторного произведения трех векторов:
{ A ´(B ´ C)} i = e iklAk (B ´ C) l =e iklAk e lmnBmCn = e ikl e lmnAkBmCn = (d im d kn - d in d km) AkBmCn =
= d im d knAkBmCn - d in d kmAkBmCn = d imAnBmCn - d inAmBmCn = BiAnCn - CiAmBm = Bi (A × C) - Ci (A × B) = { B (A × C) - C (A × B)} i.
§12. Связь тензоров 2го ранга с матрицей линейного