Математическое описание и обработка гармонических сигналов осуществляются просто. В связи с этим периодический сигнал часто представляют в виде ряда Фурье, т. е. разлагают на гармонические составляющие. При этом гармонические составляющие могут быть описаны тремя равноценными способами. Для типовых периодических сигналов, таких как прямоугольные, пилообразные колебания и др., составлены таблицы соответствующих рядов Фурье.
7.5.1. Ряд Фурье как сумма синусоидальных и косинусоидальных колебаний. Ряд Фурье периодического сигнала по определению равен:
,
где - круговая частота основной гармонической составляющей:
;
Смысл уравнения ряда Фурье при описании сигнала состоит в том, что вся информация о сигнале заключена в амплитудах
или
как функция дискретных частот
. Для периодических функций характерна дискретность амплитудных спектров
и
, т. е. они существуют только при дискретных величинах частоты
. Коэффициент ряда Фурье
соответствует так называемой постоянной составляющей сигнала. Коэффициент
отсутствует в тех случаях, когда сигналы имеют вид последовательности прямоугольных импульсов.
|
|
7.5.2. Ряд Фурье как сумма косинусоидальных колебаний с различным сдвигом фаз. На основании тригонометрической теоремы сложения ряд Фурье можно записать в следующей форме:
где
При этом описание сигнала даётся в виде дискретного амплитудного спектра
и дискретного фазового спектра
.
7.5.3. Ряд Фурье в комплексной форме. Наиболее просто ряд Фурье описывается с помощью комплексного коэффициента :
;
где
Используя уравнение Эйлера, можно показать, что
При этом векторная величина эквивалентна величинам
и
или
и
: