Этот метод весьма эффективен для решения алгебраич. Ур-й. Его основное преимущество состоит в том, что при сравнительно простой схеме вычислений он обладает быстрой сходимостью.
Пусть единственный корень ур-ия
(1)
расположен внутри интервала , причем
и
непрерывны и сохраняют определенные знаки
.
.
Пусть нач. прибл-е известно. Заменим
отрезком из ряда Тейлора
и за следующее прибл-е
возьмем корень уравнения
, т. е.
.
Вообще, если итерация известна, то следующее приближение
в методе Ньютона определяется по правилу
,
(2)
Нач. прибл-е и должно удовлетворять условию
(3)
Метод Ньютона наз-ют также методом касательных, так как новое прибл-е является абсциссой точки пересечения касательной, проведенной в точке
к графику функции
, с осью
.
Этот метод имеет квадратичную сходимость, т. е. в отличие от линейных задач погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации: .
Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой
|
|
,
где ,
Метод Ньютона обладает очень быстрой сходимостью. Такая быстрая сходимость гарантируется лишь при очень хороших, т. е. близких к точному решению нач. прибл-ях. Если нач. прибл-е выбрано неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется вообще.