Производной функции в точке по направлению называется предел
если предел существует.
Если функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле
(18.31)
В частности, если – функция двух переменных, то формула (18.31) производной по направлению примет вид:
(18.32)
где – угол между вектором и осью Ох.
Градиентом функции в точке называется вектор
(18.33)
или, то же самое,
Связь между градиентом функции и производной по направлению устанавливает формула
где – угол между векторами и
Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшее значение производной достигаемое в направление градиента, равно
В частности, если – функция двух переменных, то