Плоскостью Лобачевского называется мыслимая планиметрия, определяемая аксиомами 1-3 группы I, всеми аксиомами групп II-IV системы аксиом Д. Гильберта и аксиомой параллельности V’ Лобачевского.
Эта модель неевклидовой геометрии была опубликована Н. И. Лобачевским в его известной работе «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» в 1829-1830 г.г. Созданная им геометрия получила название мыслимой геометрии, т.к. в течение длительного времени в математическом мире отсутствовала общепризнанная реализация этой модели.
То, что существует хотя бы одна прямая, проходящая через точку A вне прямой a и не пересекающая прямую a, было доказано еще Евклидом без ссылки на постулат о параллельности, см. замечание 3, §3. Одна из моделей, в которой через точку A вне прямой a проходит более одной прямой, не имеющей общих точек с a, была построена великим французским математиком Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912). Эта модель (опубликована около 1883 г.) представляет множество точек полуплоскости, на которой «прямые» определены так, что реализуются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского.
|
|
Рассмотри кратко эту модель, опуская доказательства, которые можно найти, например, в [7].
1. Представление основных объектов - точек и прямых в модели Пуанкаре. Пусть l - произвольная прямая евклидовой плоскости. Точками плоскости Лобачевского будем называть все точки одной из полуплоскостей, например, верхней, лежащих по одну сторону от l. Прямыми плоскости Лобачевского назовем либо вертикальные лучи, лежащие в заданной полуплоскости, либо полуокружности с центрами на l, также лежащими в этой полуплоскости, рис.1.
2.
Прямая l представляет «бесконечноудаленные точки» плоскости Лобачевского и называется абсолютом.
3. Углы между прямыми - это обычные евклидовы углы, образованные касательными в точке пересечения полуокружностей, представляющих эти прямые, рис. 1.
4. Движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского представляется специальными дробно-линейными преобразованиями верхней полуплоскости на себя. Это преобразование сохраняет отношение 4-х точек, через которое определяется функция расстояния между двумя точками в модели Пуанкаре. Мы не будем иллюстрировать свойства конгруэнтности на плоскости Лобачевского, поэтому не приводим формулы, представляющие функцию расстояния. Подробно изложение свойств движения в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского можно найти, например, в [7].
В модели, определяемой перечисленными выше условиями 1-4, выполняются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эту модель будем обозначать L2 и ограничимся проверкой нескольких аксиом.
|
|
Проверим две первые аксиомы I группы. Они должны определять единственную прямую в модели L2 по двум любым точкам. Пусть абсолют l - линия OX в евклидовой плоскости. Тогда уравнения окружностей с центром в точках A(x0, О) Î l и радиусом R имеют вид:
(x-x0)2 + y2 = R2 (5)
Две точки B(x1,y1), C(x2,y2) лежат на некоторой «прямой» a тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению (5) для некоторых значений x0 и R:
(6)
В полученной алгебраической системе уравнений числа x1, y1 и x2, y2 заданы, а величины x0 и R - искомые. Раскрывая квадраты и вычитая второе уравнение из первого, находим
x12 – x22 + y12 – y22 = 2x0(x1 – x2).
Откуда
Это решение определено, если x1¹x2, т.е. точки B и C не лежат на общем перпендикуляре x1=x2=х к оси OX. (Если x1=x2=x, то этот перпендикуляр представляет прямую в L2, рис. 2(a)). Подставляя найденное значение x0, в любое из уравнений (6), находим значение радиуса R. Тем самым найдена окружность (5), проходящая через точки B и C. Эта окружность единственна и в модели L2 представляет единственную же «прямую» a, инцидентную точкам B и C, рис. 2.
Таким образом, аксиомы 1 и 2 группы I выполнены. Аксиома 3 этой группы выполняется очевидным образом.
Оставляя проверку аксиом группы II-IV, займемся проверкой аксиомы V' (параллельности по Лобачевскому) в модели L2. Пусть a - некоторая прямая и точка AÏa в модели L2, рис.3. Пусть A¥ и B¥ - точки на абсолюте l, представляющие бесконечно удаленные точки прямой a, рис.3. Используя формулу (5) точно так же, как при проверке аксиом 1-2 группы I, заключаем, что существует единственная окружность с центром на l, проходящая через точки A и A¥, обозначим ее g1(A,A¥), и, аналогично, единственная окружность g2(A,B¥), рис.3. Полуокружности g1 и g2 в верхней полуплоскости L2 представляют две прямые, параллельные прямой a, т.к. имеют с ней общие точки A¥=g1Ça и B¥=g2Ça, лежащие на абсолюте l и являющиеся, по определению, бесконечно удаленными точками. Кроме этого, существует еще бесконечно много прямых g, представляемых окружностями, проходящими через точку A внутри вертикального угла, образованного g1, и g2, рис 3. Эти прямые не имеют общих точек с a в L2 даже на абсолюте и называются прямыми, расходящимися с a.