Задание 3.2

Задача 1.

Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):

6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4

Найти: а

Решение:

1. Запишем формулу: a=1/N*Σ ^N_t=1*x (t)

2. Вычислим:

а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10

а = 7,02 (млрд. руб.)

Ответ: 7,02 (млрд. руб.)

Задача 2.

Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.

Найти: σ =?

Решение:

1. а = 7,02

2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ² = 1/N*Σ^N_t=1 x(t)-a

3. Вычислим:

х(t)	5,9	6,3	6,6	6,8		7,1	7,4	7,9	7,8
х(t)-a	-1,120	-0,720	-0,420	-0,220	-0,020	0,080	0,380	0,880	0,780
(х(t)-a)2	1,254	0,518	0,176	0,048	0,0004	0,006	0,144	0,774	0,608

σ = 3,676

Ответ: 3,676

Задача 3.

Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)

х(t)-a	-1,120	-0,720	-0,420	-0,220	-0,020	0,080	0,380	0,880
(х(t)-a)^2	1,254	0,518	0,176	0,048	0,000	0,006	0,144	0,774
(х(t)-a)* (х(t+1)-a)	0,8064	0,3024	0,0924	0,0044	-0,0016	0,0304	0,3344	0,6864
(х(t)-a)* (х(t+2)-a)	0,4704	0,1584	0,0084	-0,0176	-0,0076	0,0704	0,2964	0,3344

∑ τ (0) = 3,676

∑ τ (1) = 2,552

∑ τ (2) = 1,313

ρ(τ) = 1/(N- τ)∑_t=1^{N- τ} (x(t)-в)* (x(t+1)-в)

ρ (0) = 0,367

ρ (1) = 0,283

ρ (2) = 0,164

Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.

Задача 4.

Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1

Найти: r=? для τ = 1,2

Решение:

1. Найдем τ = 0,1,2

ρ(0) = 0,367

ρ(1) = 0,283

ρ(2) = 0,164

2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:

r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)

r(1) = 0,283/0,367

r(1) = 0,771

r(2) = 0,164/0,367

r(2) = 0,446

Ответ: 0,771; 0,446

Задача 5.

Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.

Найти: r_{частная} (2) =?

Решение:

1. Найдем выборочную автокорреляцию

r(1) = 0,771

r(2) = 0,446

2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:

r_{частная} (2) = r(2) – r² (1)/ 1 - r² (1)

r_{частная} (2) = 0,446 – (0,771)² / 1 - (0,771)²

r_{частная} (2) = - 0,365

Ответ: - 0,365

Задача 6.

С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:

		-
		-
		-
		+
		-
		не рассматриваем
		+
		+
		не рассматриваем
		+
		+
		+
		-
		-
		-

Решение:

1. Определим число наблюдений: n=15

2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:

6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700

3. Вычислим медиану:

n = 15;

х_мед = n+1/2 = 15+1/2

x_мед = 8

x_мед = 6500

4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:

если х(i) < х_мед, то +; если х(i) > х_мед, то -.

5. Определим общее число серий:

v(15) = 6

6. Протяженность самой длинной серии:

τ(20) = 3

7. Проверим неравенства:

v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)

v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)

v(n) = 1,166

6 > 1 – выполняется

τ(n) < (1,43*ln(n+1))

τ(n) < (1,43*ln(15+1))

τ(n) = 3,96

3 < 3,96 – выполняется

Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.

Ответ: гипотеза принимается.