Предположим, что функция у =f(х) имеет все производные до (п + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х = а. Найдем многочлен Рп (х) степени не выше п, такой, что
(30)
т.е. в точке х = а значения многочлена и функции, а также их соответствующих производных совпадают. Многочлен Р (х) будем искать в виде
(31)
Коэффициенты этого многочлена определим из условий (30), для чего предварительно найдем его производные:
(32)
Подставляя значение х = а в формулы (31) и (32), получаем
(33)
Из равенств (30) и (33) находим
(34)
или
Подставляя эти значения в формулу (31), получаем искомый многочлен:
(35)
Обозначим через разность между данной функцией у =f(х) и многочленом (35): , откуда
(36)
или
(37)
R (х) называется остаточным членом.
Следовательно, при тех значениях х, для которых R (х) достаточно мало, вместо функции у =f(х) можно рассматривать ее многочлен (35).
Формула (37) называется формулой Тейлора. Если в этой формуле положить x= 0, то получим новую формулу
(38)
которая называется формулой Маклорена.