1. Задана передаточная функция для произвольной системы.
Получим переходный процесс для данной системы. Для этого введем значение передаточной функции заданной системы.
W=poly([2 1],'s','c')/poly([3 5 4 3],'s','c')
W =
2 + s
---------------
2 3
3 + 5s + 4s + 3s
Зададим тип объекта как линейной непрерывной системы.
S=syslin('c',W)
S =
2 + s
---------------
2 3
3 + 5s + 4s + 3s
Построим график переходного процесса и зададим названия этого графика и осей, добавим координатную сетку.
plot(csim("step",0:0.1:20,S))
xgrid()
xtitle('Transition Function','Time,c','Magnitude')
Характеристическое уравнение:
Составим определитель Гурвица:
Проверка устойчивости:
С0 = 3 > 0
Δ1 = С1 = 4 > 0
det([4 3;3 5])
ans =
11.
Δ2 = 11 > 0
det([4 3 0;3 5 0;0 4 3])
ans =
33.
или
Δ3 = С3Δ2 = 3 * 11 = 33 > 0
Следовательно, по критерию Гурвица разомкнутая система устойчива.
2. Найдем нули и полюса передаточной функции разомкнутой системы и изобразим их графически.
Корни характеристического уравнения разомкнутой системы:
roots(poly([3,5,4,3],'s','c'))
ans =
! - 0.8054824!
! - 0.2639255 + 1.0825135i!
! - 0.2639255 - 1.0825135i!
-->plzr(S)
3. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Михайлова.
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
poly([3,5,4,3],'s','c')+poly([2,1],'s','c')
ans =
2 3
5 + 6s + 4s + 3s
deff('u=re(w)','u=5-4*w^2')
deff('v=im(w)','u=(6*w)-3*w^3')
x=re(0:0.1:100);
y=im(0:0.1:100);
plot(x,y)
xgrid
plot(x(1:20),y(1:20))
xgrid
По критерию Михайлова замкнутая системы устойчива.
roots(poly([5,0,-4],'w','c'))
ans =
! - 1.118034!
! 1.118034!
roots(poly([0,6,0,-3],'w','c'))
ans =
! 0!
! - 1.4142136!
! 1.4142136!
plot2d(roots(poly([5,0,-4],'w','c')),[0,0],style=-1)
plot2d(roots(poly([0,6,0,-3],'w','c')),[0,0,0],
style=-3)
Корни действительной и мнимой частей характеристического полинома перемежаются, значит согласно следствию из критерия Михайлова замкнутая система устойчива.
4. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Найквиста.
nyquist(S);
Годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатой (-1,0), значит замкнутая система устойчива.
5. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью логарифмического критерия устойчивости. И определим запасы устойчивости по фазе и амплитуде.
-->bode(S,0.1,1)
[gm,fr]=g_margin(S)
fr = //Частота пересечения ЛАЧХ с осью -180°
0.2977516
gm = //Запас устойчивости по амплитуде
14.807254
[pm,fr2]=p_margin(S)
fr2 = //Частоты среза
! 0.1591549!
! 0.1648781!
pm = //Запас устойчивости по фазе
! - 90.!
! - 97.645873!
Варианты домашних заданий:
№ варианта | а0 | а1 | а2 | b0 | b1 | b2 | b3 |
- | -3 | - | |||||
- | - | ||||||
-1 | - | -2 | |||||
- | -1 | ||||||
- | -1 | - | |||||
- | - | ||||||
- | -9 | - | -5 | ||||
-7 | - | - | |||||
- | - | -6 | |||||
- | - | ||||||
-8 | - | ||||||
- | -3 | ||||||
- | - | ||||||
- | - | ||||||
- | - | ||||||
- | - | - | |||||
- | -6 | - | |||||
- | - | -3 | |||||
-2 | - | ||||||
- | -7 |
Контрольные вопросы:
1. Понятие устойчивости для линейных САР.
2. Условия устойчивости, типы границы устойчивости.
3. Необходимое условие устойчивости САР, достаточное для систем 1-ого и 2-ого порядков.
4. Критерий устойчивости Гурвица.
5. Критерий устойчивости Михайлова. Свойства, примеры годографов Михайлова.
6. Критерий устойчивости Найквиста. Свойства, примеры годографов Найквиста.
7. Определение устойчивости по ЛАЧХ & ЛФЧХ. Методика построения асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ линейных систем.
8. Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе.