MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.
Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:
· Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.
· Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.
· Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, ³ и £.
· Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find (х, у).
Find (z 1, z 2 ,...)
Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.
Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.
|
|
Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:
· Ограничения со знаком ¹.
· Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.
· Неравенства вида a < b < c.
Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.
Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:
· Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:
Find (var 1, var 2,…) =.
· Определить переменную с помощью функции Find:
a:= Find (x) – скаляр,
var:= Find (var 1, var 2,…) – вектор.
Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа.
· Определить другую функцию с помощью Find
f (a, b, c, …):= Find (x, y, z, …).
Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, c,…, непосредственно входящих в систему уравнений.
Рисунок 7. Решение систем уравнений в MathCAD |
Сообщение об ошибке (Решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда:
· Поставленная задача может не иметь решения.
· Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.
· В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения.
· Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.
|
|
Пример 1 Рисунка 7 иллюстрирует решение системы уравнений в MathCAD.
Решение матричных [2] уравнений
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х 1, х 2, …, хn:
(2) |
В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде
Ах = b, | (3) |
где:
. | (4) |
Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.
Если матрица А - неособенная, то есть det A ¹ 0 то система (2), или эквивалентное ей матричное уравнение (3), имеет единственное решение.
В самом деле, при условии det A ¹ 0 существует обратная матрица А -1. Умножая обе части уравнения (3) на матрицу А -1 получим:
(5) |
Формула (5) дает решение уравнения (3) и оно единственно.
Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.
lsolve(А, b)
Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.
Аргументы:
А - квадратная, не сингулярная матрица.
b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.
На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.
Рисунок 8. Решение матричных уравнений |