Определение. Событие называется зависимым от события
если вероятность события
зависит от того, произошло событие
или нет.
Определение. Вероятность события вычисленная при условии, что событие
произошло, называется условной вероятностью события
и обозначается
Теорема. Вероятность произведения событий и
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
или
(3.14)
Условие независимости события от события
можно записать в виде
Из этого утверждения следует, что для независимых событий выполняется соотношение:
(3.15)
т. е. вероятность произведения независимых событий и
, равна произведению их вероятностей.
Замечание. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Если события независимые, то имеем:
Пример 3.31. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из него наугад последовательно без возвращения вытаскивают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
|
|
Пусть событие − появление белого шара при первом вынимании,
− появление белого шара при втором вынимании. Учитывая, что
,
(вероятность появления второго белого шара при условии, что первый вынутый шар был белым и его не возвратили в ящик). Так как события
и
зависимые, то вероятность их произведения найдем по формуле (3.15):
Пример 3.32. Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок выстрелил по мишени. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Какова вероятность того, что один стрелок попадет в цель?
Пусть событие – попадание в цель первым стрелком,
– вторым. Все возможные варианты можно представить в виде таблицы 3.5, где «+» обозначает, что событие произошло, а «−» − не произошло.
Таблица 3.5
![]() | ![]() |
+ | + |
+ | − |
− | + |
− | − |
Пусть событие – попадание хотя бы одним стрелком в цель, Тогда событие
является суммой независимых событий
и
следовательно, применить теорему о вероятности суммы несовместных событий в данной ситуации нельзя.
Рассмотрим событие противоположное событию
которое произойдет тогда, когда ни один стрелок не попадет в цель, т. е. является произведением независимых событий
Используя формулы (3.13) и (3.15), получим:
Пусть событие – попадание одним стрелком в цель. Это событие можно представить следующим образом:
События и
– независимые, события
и
также являются независимыми. События, являющиеся произведениями событий
и
– несовместными. Используя формулы (3.10) и (3.15) получим:
|
|
Свойства операций сложения и умножения событий:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.