Установим связь между характеристиками деформаций и внутренними усилиями, возникающими в сечении балки при плоском поперечном изгибе. Предварительно отметим, что для рассматриваемых балок средней и большой длины (l >5 h) решающим фактором при определении деформаций является изгибающий момент М. Вклад поперечной силы Q при этом пренебрежимо мал, однако он увеличивается при уменьшении длины балки, и для коротких балок поперечная сила должна учитываться в расчетах. Рассматриваем, как и ранее балки средней длины и длинные.
Напомним, что при выводе формулы для s при чистом плоском изгибе было получено соотношение между кривизной оси балки (1/ r ) и изгибающим моментом в сечении (формула 4.5)
, (4.5)
где – изгибная жесткость сечения балки.
В дифференциальной геометрии выражение для кривизны плоской кривой имеет вид:
(4.15)
Подставляя (4.15) в (4.5), получим связь между прогибом и изгибающим моментом
.
Знак в этой формуле определяется в зависимости от знака изгибающего момента и знака кривизны: если знаки момента и кривизны одинаковы – в формуле знак «+», если разные – знак «-». Заметим, что знак кривизны определяется используемой системой координат, знак же изгибающего момента от направления координатных осей не зависит, а определяется согласно характеру деформаций нижних и верхних волокон балки. В этой связи, ниже, на рис.4.33 в различных системах координат для участков балки с положительными и отрицательными изгибающими моментами приведены знаки кривизны оси.
|
|
В системе координат, которую мы используем в расчетах (система 1), знаки моментов и кривизны для деформированных осей балок различны, поэтому в рассматриваемом уравнении принимаем знак «-»
. (4.16)
Рис.4.33
Уравнение (4.16) является точным уравнением упругой линии балки. Это дифференциальное уравнение второго порядка, обыкновенное, неоднородное, нелинейное. Нелинейность приводит к определенным трудностям решения такого уравнения. Однако, поскольку мы рассматриваем малые перемещения и малые углы поворота сечений , квадратом угла поворота , по сравнению с единицей, можно пренебречь. Тогда уравнение (16) примет вид
(4.17)
Это уравнение и является искомым дифференциальным уравнением упругой линии балки при рассматриваемых малых ее перемещениях. В отличие от уравнения (4.16), оно является линейным, допускает разделение переменных и легко интегрируется (решается).
На основе дифференциального уравнения упругой линии балки можно определять основные характеристики деформаций: прогиб n и угол поворота q произвольного сечения балки. При этом используются два метода:
1) метод непосредственного интегрирования уравнения (4.17);
|
|
2) метод начальных параметров.