Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений:
, i =0,1,... n. Требуется найти многочлен степени n, такой, что значения функции и многочлена в точках таблицы совпадают:
, i =0,1,... n.
Справедлива теорема о существовании и единственности интерполяционного многочлена.
Одна из форм записи интерполяционного многочлена - многочлен Лагранжа:
, где
Многочлен представляет собой многочлен степени n, удовлетворяющий условию
.
Таким образом, степень многочлена равна n и при в сумме обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного . Поэтому многочлен Лагранжа является интерполяционным.
ПРИМЕР 1.Построение многочлена Лагранжа.
По таблице построим интерполяционный многочлен:
x | -1 | |||
y |
=
% Построить интерполяционный многочлен Лагранжа
% Введём табличную функцию
x = [-1 0 1 2];
y = [4 2 0 1];
% Построим интерполяционный многочлен (аппроксимация четвёртой степени)
p = polyfit(x, y, 4);
% Коэффициенты интерполяции \sum_{i=0}^n p(i) x^i
p
>>
P = | 1.2500 | -2.0000 | -1.2500 | 2.0000 |
Другая форма записи интерполяционного многочлена - интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями. Пусть функция f задана с произвольным шагом и точки таблицы занумерованы в произвольном порядке. Величины называют разделенными разностями первого порядка. Разделенные разности второго порядка определяются формулой:
|
|
.
Определение разделенной разности порядка таково:
.
Используя разделенные разности, интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в следующем виде:
ПРИМЕР 2. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с разделенными разностями.
По таблице значений функции из ПРИМЕРА 1 построим интерполяционный многочлен Ньютона. Составим таблицу разделенных разностей:
x | f(x) | f(xi, xi+1) | f(xi, xi+1, xi+2) | f(xi, xi+1, xi+2, xi+23) |
-1 | -2 | 1/2 | ||
-2 | 3/2 | |||
Теперь запишем интерполяционный многочлен Ньютона:
/
Отметим, что в силу единственности интерполяционного многочлена, мы получили тот же самый многочлен, что в ПРИМЕРЕ 1.
Величину называют погрешностью интерполяции или остаточным членом интерполяции.