Производная функцией f(x) по независимой переменной x в точке xo - предел отношения преращения ф-ии ∆f(xo) к приращению аргумента ∆x при ∆x→0? Если этот предел существует.
F’(xo) =
Производной 2ого порядка ф-ии y=f(x) называется производная от ее производной:
Такой предел. Если он существует, называют 2ой производной.
Производная n-ного порядка- производная от производной (n-1)-го порядка: y(n)=(y(n-1))’
Производные высоких порядков начисляются последовательным дифференцированием ф-ии.
Если ф-я y=f(x)имеет конечную производную f’(x)в т. X, то полное приращение ф-ии ∆y=f(x+∆x)-f(x)= f’(x) ∆x+𝜶(∆x)∆x, где 𝜶(∆x)-бесконечно малая ф-я при ∆x→0, те
Главная, линейная относительно ∆x, часть полного приращения ф-ии называется дифференциалом ф-ии= dy.
Следовательно, по определению dy=f'(x)∆x. Если f(x)=x, то dx= ∆x, поэтому dy=f’(x)dx.
Дифференциалом 2ого порядка называют d(dy)=d2y=y’’(dx)2.
Дифференциалом n-ого порядка dny=d(dn-1y)=y(n)(dx)n. Отсюда:
y(n)=
Формула Лейбница:
(UV)(n)=
Пр. x=U U’=1 U’’=U’’’=0
ex=V V’=V’’=V’’’= ex
f’’’(x)= = + + = + =3* ex+ ex= 4ex