Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [ a, b ] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F (x) – какая-нибудь первообразная функция для f (x), то, согласно определению,
(38)
При a = b по определению принимается
Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F (b) – F (a) кратко записывают так:
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
(39)
Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F (x) + C. Поэтому
Тем самым установлено, что на отрезке [ a, b ] приращения всех первообразных функции f (x) совпадают.
Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Из всех первообразных для f (x) выбирается обычно та, которая соответствует равной нулю производной постоянной, и к ней применяется формула Ньютона-Лейбница.