Функция называется рациональной функцией, или рациональной дробью, если она представляет собой отношение двух многочленов и :
Пусть степень многочлена равна , а степень равна , то есть
где и . Разделив числитель и знаменатель на число , мы получим, что коэффициент при старшей степени в знаменателе равен 1. Для дальнейшего нам будет удобно предполагать, что эта операция уже произведена, то есть что . Далее мы будем предполагать, что все коэффициенты и -- вещественные числа.
Если , то дробь называется правильной, а если , то неправильной. Если дробь неправильная, то её числитель можно поделить на знаменатель ,
получив при этом частное и остаток , степень которого меньше . Это означает, что
или что
где -- некоторый многочлен, называемый целой частью рациональной дроби . Если остаток тождественно равен 0, то многочлен делится на без остатка, и функция является многочленом, то есть совпадает со своей целой частью .
С интегрированием целой части дроби , то есть многочлена , не возникает никаких проблем.
|
|
12. Схема исследования функции
1. Область определения
2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность
Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то – четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то – нечетная функция; в противном случае, – общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат
Точки пересечения с осью ОХ: , где – решение уравнения .
Точки пересечения с осью ОY: .
4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е. или .
5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек
Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.
6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов
Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.
|
|
7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба
Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.
8. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва
Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо вычислить односторонние пределы: и . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая – вертикальная асимптота.
При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при и . Для этого нужно вычислить следующие пределы: и . Если оба предела существуют, то – уравнение наклонной асимптоты при . Частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при .
9. Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)
21. Функции нескольких переменных.
Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.
22.
Частные производные первого порядка | |
|
|
|