Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Пример.

Пример.

4.3. Вычисление интегралов типа

Для вычисления интегралы вида используются следующие приемы:

1. Подстановка sin x = t, если n - целое положительное нечетное число;

2. Подстановка cos x = t, если m - целое положительное нечетное число;

3. Формулы понижения порядка: , если m и n - целые положительные четные числа:

4. Подстановка tg х = t, если m + n – четное цлое отрицательное число.

Пример.

Пример.

Пример.

§5. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно, всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

5.1. Интеграл вида где n- натуральное число

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.