Типовой расчет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант №5
1. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N >2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
2. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела, каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p1, а для второго – p2. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок, если выигравшим считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин.
3. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 4 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 1,2 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
4. В большом универмаге установлен скрытый "электронный глаз" для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98, второй – с вероятностью 0,94, а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайне мере одно из двух входящих вместе покупателей.
|
|
5. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,30, если политическая ситуация в течение года будет нейтральной; равной 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,6; 0,2 и 0,2. Чему равна вероятность успеха инвестиций?
6. В первой урне содержится 3 фиолетовых и 4 оранжевых шаров, во второй – 5 фиолетовых и 4 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.
7. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?
|
|
8. Было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется равна 0,8. Найти вероятность того, что прижившихся деревьев будет: а) ровно 300; б) больше 310, но меньше 330.
9. В страховой кампании 5 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,005, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?
10. Число яхт, сходящих о стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:
xi | |||||||
pi | 0,15 | 0,20 | 0,30 | 0,10 | 0,10 | 0,10 | 0,05 |
а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находиться между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт? д) Чему будет равна ожидаемая сумма заработка конструктора яхт, если предположить, что конструктор зарабатывает в месяц фиксированную сумму, равную 25000 у.е. плюс 5000 у.е. за каждую сошедшую со стапелей яхту?
11. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x 1 и x 2, причем x 1< x 2. Вероятность того, что X примет значение x 1 равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[ X ] = 0,8 и дисперсию D[ X ] =3,36.
12. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P (1< X <1,5).
13. Известны математическое ожидание a =4 и среднее квадратичное отклонение s=3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=4.
14. Масса мандаринов, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65% ящиков имеют чистую массу больше 72 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 65 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.