Замкнутая линейная амплитудная импульсная система (АИС), включающая в себя импульсный элемент (ИЭ), непрерывную часть (НЧ) и датчик рассогласования (ДР), может быть представлена в виде структурной схемы [15], изображенной на рис. 1.10. Она состоит из простейшего импульсного элемента (ПИЭ) с периодом дискретности T, формирующего элемента (ФЭ) с передаточной функцией WФЭ(s) и непрерывной части (НЧ), разделенной на два участка с передаточными функциями W1(s) и W2(s).
Рис. 1.10. Структурная схема замкнутой импульсной системы
Для получения математического описания замкнутой импульсной системы установим связи между выходной управляемой величиной y и рассогласованием x с одной стороны и задающим g и возмущающим f воздействиями с другой стороны.
Определим сначала дискретную передаточную функцию замкнутой импульсной системы по задающему воздействию, для чего примем f(t)=0.
Ко входу простейшего импульсного элемента прикладывается рассогласование, определяемое как
x(t) = g(t) - y(t).
Так как простейший импульсный элемент замыкается лишь в дискретные моменты времени t = nT, то на его выходе образуется сигнал, который можно записать через решетчатые функции в виде
|
|
x[n] = g[n] - y[n]. (1.65)
Подвергнув уравнение (1.65) z-преобразованию, получим уравнение ошибки в изображениях:
X(z) = G(z) - Y(z). (1.66)
Уравнение разомкнутой импульсной системы
Y(z,s) = W(z,s) X(z), (1.67)
где
W(z,s) = Zs{WФЭ(s)W1(s)W2(s)}.
При s = 0 получим изображение решетчатой функции y[n]
Y(z) = W(z) X(z). (1.68)
Подставив (1.68) в уравнение замыкания (1.66), найдем уравнение замкнутой импульсной системы относительно изображения рассогласования:
(1.69)
Если далее подставить (1.69) в (1.67), то получим уравнение замкнутой импульсной системы, описывающее процессы в любой момент времени t = (n+s)T:
(1.70)
где
. (1.71)
Функция Ф(z,s) называется дискретной передаточной функцией замкнутой импульсной системы и равняется отношению модифицированного z-изображения выходной управляемой величины замкнутой импульсной системы к z-изображению входного задающего воздействия при нулевых начальных условиях:
.
Дискретная передаточная функция замкнутой импульсной системы, также как и разомкнутой, зависит от относительного времени s.
При s = 0, то есть для моментов времени t = nT
. (1.72)
Уравнение ошибки в изображениях для любого момента времени t = (n+s)T, характеризующее воспроизведение системой задающего воздействия, имеет вид
(1.73)
Из последнего выражения следует, что для любого s (любого момента времени) передаточную функцию замкнутой импульсной системы по ошибке относительно задающего воздействия определить невозможно, так как она зависела бы от входного сигнала g.
|
|
Однако, дискретная передаточная функция замкнутой импульсной системы по ошибке относительно задающего воздействия существует при s = 0, т.е. для моментов времени t = nT:
. (1.74)
Далее найдем изображение выходной управляемой величины от возмущающего воздействия f(t) при g(t) = 0, для чего исходную структурную схему системы (рис. 1.10) преобразуем к виду, показанному на рис. 1.11.
На основании приведенной структурной схемы z-преобразование выходной величины системы можно записать в следующем виде
Y(z,s) = X1(z,s) - X2(z,s) = Zs{W2(s) F(s)} - W(z,s) Y(z). (1.75)
Рис. 1.11. Приведенная структурная схема замкнутой
импульсной системы
При s = 0, т.е. для дискретных моментов времени t = nT, это уравнение можно переписать как
.
Подставив его в (1.75), получим уравнение для выходной величины системы в z-изображениях для любого момента времени t = (n+s)T:
. (1.76)
Отсюда следует, что ввести понятие дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы по возмущающему воздействию невозможно, так как она зависела бы от последнего. Для дискретных моментов времени t = nT, то есть при s = 0, можно написать лишь следующее отношение
,
которое совпадает с выражением для дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы по ошибке относительно задающего воздействия в дискретные моменты времени t = nT.
Таким образом, в отличие от непрерывных систем, для дискретных систем при любых значениях s имеет место только одна передаточная функция, а для s = 0 - две передаточные функции относительно задающего воздействия; передаточные функции по возмущающему воздействию не существуют.