Рассмотрим произвольную точку М(х;у), лежащую на данной гиперболе. Если r2 и r1—фокальные радиусы этой точки, то
(1)
Оказывается для выражения фокальных радиусов можно указать другие формулы, свободные от иррациональностей.
В самом деле, из равенства (8) п° 84 имеем:
здесь знак плюс относится к случаю, когда точка М находится на правой ветви гиперболы. Полагая и принимая во внимание второе из равенств (1), получим:
(2)
Чтобы выразить первый фокальный радиус, воспользуемся основным соотношением: r1—r2 = ±2a, где знак плюс также относится к точкам правой ветви гиперболы. Из этого соотношения находим . Итак, для точек правой ветви гиперболы
, (3)
для точек левой ветви
, (4)
Эти формулы существенно используются в следующем параграфе.