Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. ее приращение в этой точке представимо в виде
,
где ― бесконечно малая функция при .
Отсюда если , то
.
Следовательно, при приращение функции и выражение являются эквивалентными бесконечно малыми функциями, т. е. при можно приближенно считать, что ∼ .
Определение. Величину , являющуюся главным (линейным) членом приращения функции в точке , называют дифференциалом функции и обозначают (или ).
Таким образом, по определению
= .
Найдем дифференциал функции , В этом случае и, следовательно, , т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой. Поэтому дифференциал функции в точке можно представить в виде
= .
Следовательно, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:
или в более краткой записи .
На рисунке, представленном ниже, дана геометрическая интерпретация дифференциала функции . Так как , то дифференциал функции измеряется отрезком , т. е. дифференциал функции в точке изображается приращением ординаты точки касательной, проведенной в к линии .
|
|
Дифференциал функции можно использовать для вычисления приближенных значений функции. Действительно, заменяя приращение функции в точке ее дифференциалом, получаем формулу для приближенных вычислений:
.
Пример. Вычислить приближенно .
Решение. Принимая , , , следовательно, , , .
Тогда: .