Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрицательное), такое, что , то приращение функции определяется выражением .
Определение. Производной функции в произвольной фиксированной точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.
Наиболее употребительные обозначения производной функции:
в точке : , , , . Таким образом,
Производная функции в произвольной точке обозначается так: , , , , .
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
При каждом конкретном числовом значении производная (если она существует при данном ) функции представляет собой определенное число. Значениям переменной ставятся в соответствие определенные значения переменной . Следовательно, производная является функцией аргумента . Можно сказать, что функция «порождает» (или «производит») функцию (отсюда и название «производная»).
|
|
Если для некоторого значения
+¥ (или –¥),
то говорят, что для этого значения существует бесконечная производная.
В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать существование конечной производной, если не оговорено противное.
Определение. Если функция определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки и существует конечный или бесконечный предел для этой функции:
,
то он называется соответственно конечной или бесконечной производной слева (справа) функции в точке и обозначается
.
Левую и правую производные называют односторонними производными. Из свойств пределов следует, что если функция , определенная в некоторой окрестности точки , имеет конечную производную , то существуют производные слева и справа, причем
= =
Пример. Найти по определению производную функции .
Решение. Дадим фиксированному значению аргумента приращение . Тогда:
.
Механический смысл производной. Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки . Если аргумент функции получает приращение (положительное или отрицательное), такое, что принадлежит той же окрестности точки , то соответствующее приращение функции , тогда средняя скорость изменения функции
,
а мгновенная скорость ее изменения
.
В этом состоит механический смысл производной, т. е. производная — математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией . В зависимости от содержательной сущности функции можно получить широкий круг математических моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые из них.
|
|
1. Пусть материальная точка движется неравномерно и — функция, устанавливающая зависимость пути от времени . Тогда мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути по времени :
.
2. Пусть —функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени . Тогда мгновенное ускорение материальной точки в фиксированный момент времени есть производная от скорости по времени :
.
3. Пусть — функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры . Тогда теплоемкость тела есть производная от количества теплоты по температуре :
.
Геометрический смысл производной. Рассмотрим задачу о проведении касательной к произвольной плоской кривой.
Определение. Касательной к кривой в точке называется прямая , которая представляет собой предельное положение секущей при стремлении по кривой точки к точке .
Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке провести касательную нельзя. Это бывает в случае, когда точка является точкой излома, или заострения, кривой.
|
Пусть кривая является графиком функции и точка . Предположим, что касательная к кривой в точке существует. Угловой коэффициент секущей .
Если , то точка движется по кривой к точке и секущая стремится к своему предельному положению . Таким образом,
,
т. е. если кривая является графиком функции , то производная от функции при равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Уравнения касательной и нормали. Угол между кривыми. Для составления уравнений касательной и нормали к плоской кривой используем геометрическую интерпретацию производной.
Пусть кривая задана уравнением . Угловой коэффициент касательной к ней в точке , где . . Уравнение касательной можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении: , но поэтому
есть уравнение искомой касательной.
Так как угловые коэффициенты касательной и нормали связаны условием перпендикулярности , то уравнение нормали в точке имеет вид
.
Определение. Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения.
Определение. Две линии называют ортогональными, если они пересекаются под прямым углом.
Пример. Найти угол, под которым синусоида пересекает ось в начале координат.
Решение. Так как , то , следовательно касательная, а значит, и синусоида, пересекают ось под таким углом , для которого , т. е. под углом .