Необходимость. Предположим, что — наклонная асимптота графика функции . Тогда справедливо представление
, где при +¥.
Следовательно, .
Достаточность. Пусть существуют данные пределы, тогда второе равенство означает, что при представимо в виде:
, где при +¥,
то есть прямая является наклонной асимптотой графика функции .
Итак, теорема доказана для случая +¥. Доказательство теоремы для случая –¥ производится аналогично.
⊠
Замечание. При нахождении наклонных асимптот графика функции возможны следующие случаи: 1) оба предела существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда прямая называется двусторонней асимптотой; 2) оба предела существуют, но при +¥ и –¥ они различны, тогда имеем две односторонние наклонные асимптоты; 3) если хотя бы один из пределов не существует, то наклонных асимптот нет.
Пример. Найти асимптоты линии .
Решение. Данная функция определена и непрерывна на , за исключением точки .
-¥, +¥.
Следовательно, является вертикальной асимптотой.
|
|
Для нахождения невертикальных асимптот вычисляем пределы
,
.
Получаем, что график функции имеет горизонтальную асимптоту
Пример. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Данная функция определена и непрерывна на , следовательно, вертикальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот находим пределы:
и .
,
.
Следовательно, у графика данной функции две односторонние горизонтальные асимптоты при –¥ и при –¥.
Пример. Найти асимптоты кривой .
Решение. Данная функция определена и непрерывна на , следовательно, вертикальных асимптот нет. Для определения наклонных асимптот находим пределы:
и .
+¥.
Предел бесконечен, следовательно, кривая асимптот не имеет.