Рассмотрим общее решение нормальной системы.
. (3),
которое имеет вид:
y1 = j1 (x, c1, c2…., cn), y2 = j2 (x, c1, c2…., cn),…
yn = jn (x, c1, c2…., cn),
где c1, c2…., cn – произвольные постоянные.
Задаваясь начальными условиями (2), мы получаем n уравнений для определения этих произвольных постоянных.
.
Итак, задача Коши будет заключаться в том, чтобы найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (3).
Для нормальных систем уравнений имеет место теорема, гарантирующая существование и единственность частного решения.
Теорема Коши. Если правые части нормальной системы непрерывны вместе со своими частными производными при значениях x0, y10,… y20,… y n0, то существует единственная система функций y1 (x), y2 (x),…. yn (x), являющаяся решением системы и удовлетворяющая заданным начальным условиям.
Таким образом, для нормальных систем дифференциальных уравнений можно сформулировать задачу и теорему Коши.