Если система неустойчивая, то после снятия возмущения она удаляется от состояния равновесия

Устойчивость системы определяется её внутренними свойст­вами, которые описываются уравнением свободного движения (одно­родное дифференциальное уравнение). Поэтому для исследования ус­тойчивости системы, например (8.121), необходимо воспользоваться уравнением

Для исследования устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо использовать однородное дифференциальное уравнение

Необходимым условием устойчивости линейной системы явля­ется требование: все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является требование: все корни характеристического уравне­ния должны быть отрицательными. Тогда все слагаемые свободного движения системы с течением времени будут стремиться к нулю:

Корни характеристического уравнения могут быть вещественные положительные и отрицательные (+ а), комплексные сопряженные

с положительной и отрицательной вещественной частью (± α ± i ω), чисто мнимые (± i ω) и нулевые.

Каждый вещественный корень (p_i = ±α i) дает слагаемое в реше­нии (8.125):

Если вещественный корень p_i = -α _i, то сла­гаемое с течением времени будет стремиться к нулю (рис. 8.44, кривая 1). Если все веществен­ные корни будут отрицательными, то все слагае­мые свободного движения [ y _св(τ)] с течением

времени будут стремиться к нулю, а система бу­дет устойчива, так как выполняется условие (8.127). Если хотя бы один вещественный корень окажется положи­тельным pi = +α i, то соответствующее слагаемое с течением времени

будет увеличиваться по модулю (рис. 8.44, кривая 2), тогда условие (8.127) выполняться не будет и система будет неустойчивой.

Каждая пара комплексных сопряженных корней (p_i = -α i ± i ω _i)

в решении (8.125) дает слагаемое

представляющее собой колебательную составляющую с убывающей во времени амплитудой (рис. 8.45), поэтому с течением времени амплиту­да колебаний будет стремиться к нулю. Если все комплексные сопря­женные корни будут иметь отрицательную вещественную часть, то сис­тема будет устойчивая. Если хотя бы одна пара комплексных сопря­женных корней будет иметь положительную вещественную часть, то амплитуда этого слагаемого свободного движения с течением времени будет расти и система будет неустойчивой (рис. 8.46).

Если среди всех корней характеристического уравнения имеется

один корень нулевой p_i = 0, то в решении появится слагаемое

y_i(τ) = c_i, то есть появляется постоянная составляющая, и стабилизация

свободного движения происходит не на нулевом уровне (см. рис. 8.44, прямая 3). В этом случае система называется нейтрально-устойчивой. Если среди корней характеристического уравнения имеется одна пара чисто мнимых корней (p_i = ± i ω _i), то в решении появляется перио­дическая составляющая

и система (рис. 8.47) после затухания других составляющих перейдет в режим незатухающих гармонических колебаний с частотой ω _i. Гово­рят, что такая система находится на границе устойчивости. При не­больших изменениях свойств любого элемента системы она может стать устойчивой или неустойчивой.

Таким образом, если будут найдены все корни характеристического уравнения, то легко можно сделать вывод об устойчивости системы. Однако отсутствуют аналитические методы нахождения корней характеристиче­ского уравнения выше второго порядка, что заставило искать косвенные методы оценки устойчивости замкнутых систем без решения уравнений. Это возможно сделать с помощью критериев устойчиво­сти. Впервые критерий устойчивости был сформулирован русским ученым И. А. Вышнеградским для линейных систем третьего порядка. В этом случае характеристическое уравнение системы имеет вид

Линейная система третьего порядка будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положительные и произведение средних коэффициентов характеристического урав­нения будет больше произведения крайних коэффициентов:

Для систем произвольного порядка, не содержащих звенья чистого запаздывания, используется критерий устойчивости, предложенный ма­тематиком Гурвицем по просьбе словацкого ученого А. Стодолы. Не­сколько позже русским ученым А. В. Михайловым был разработан час­тотный критерий устойчивости, который после усовершенствования стало возможно использовать для анализа устойчивости систем произ­вольного порядка, содержащих звенья чистого запаздывания. Этот кри-

терий позволил не только анализировать устойчивость систем, но и ре­шать задачи синтеза систем с заданными свойствами.

Обеспечение устойчивости линейных систем не является доста­точным условием для обеспечения их работоспособности, так как ана­лиз устойчивости ведется по приближенным математическим моделям и динамические свойства отдельных элементов в процессе эксплуата­ции могут изменяться, как правило, в сторону ухудшения, поэтому сис­тема должна обладать достаточным запасом устойчивости, или, дру­гими словами, система должна находиться достаточно далеко от грани­цы устойчивости. Для оценки запаса устойчивости линейных систем по аналогии с колебательным звеном второго порядка вводятся понятия степени колебательности т (8.69) и связанной с ней степени зату­хания ц/ (8.68). Предполагается, что колебательная система произволь­ного порядка ведет себя подобно колебательной системе второго по­рядка. Практика подтверждает такое предположение.

Реальные системы работают в сложных условиях, когда на них действуют управляющие и возмущающие воздействия произвольной формы, которые сложно воспроизвести на приближенных моделях. По­этому расчет АСР и анализ качества процессов регулирования произ­водится при типовых воздействиях. Наиболее часто используется еди­ничное ступенчатое воздействие. Тогда качество процесса регулирова­ния оценивается следующими точечными оценками (рис. 8.48).