2015-06-05
1764
Найти экстремаль, обеспечивающую экстремум функционала: 
при следующих граничных условиях:
, 
,
, 
,
.
Решить эту задачу можно:
- путем ввода новых переменных: 
, 
, 
,..., что позволит записать систему уравнений Эйлера, решая которую находим промежуточные переменные и искомое 
;
- можно воспользоваться уравнением Эйлера-Пуассона, вывод которого дан ниже.
Вариация функционала в данном случае равна
.
Интеграл первых двух слагаемых рассматривался выше, а интеграл для третьего слагаемого:
.
Первое слагаемое последнего выражения равно нулю, т.к. 
в точках 
и 
равно нулю. Второе слагаемое снова интегрируем по частям: 
.
Интегрируя по частям остальные слагаемые в вариации функционала, получим: 
.
Аналогично выводу уравнения Эйлера, запишем уравнение Эйлера-Пуассона:
