Предполагается, что значение и значение функции в начале и в конце интервала интегрирования нефиксированные. Может быть также частный случай, когда подвижна одна граница (верхняя или нижняя), когда нижняя или верхняя границы задаются в виде кривой или поверхности, т.е. задается функционально. Рассмотрим случай, когда варьируется верхняя граница, тогда
;
;
;
Если функция является экстремалью, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю в соответствии с уравнением Эйлера: .
Т.к. значение функции не фиксировано в точке , то , тогда .
Поскольку варьируется и и значение функции в точке , то полная вариация может быть представлена (см рис. 1): ;
(*)
Для обеспечения экстремума вариация функционала должна быть равна нулю: , тогда, при независимых и вариация будет равна нулю, если и
Эти уравнения используются для нахождения и второй константы интегрирования, они называются условиями трансверсальности.
Если вариации и связаны зависимостью , т.е. верхний конец интервала перемещается по некоторой кривой, тогда , и условия трансверсальности записываются следующим образом:
|
|
1)
(получено путем подстановки в формулу (*), приравнивания вариации к нулю и деления на ).
Аналогично записывается уравнение трансверсальности для нижней границы, если
2) .