Задачи называются задачами на условный экстремум, если имеются ограничения типа «равенство», объединяющие функции, их производные, причем, такие задачи называются задачами классического вариационного исчисления. Задачи с ограничениями в виде неравенств относятся к неклассическому вариационному исчислению.
Для функционала вида: при наличии ограничений , в виде алгебраических уравнений, также как и в задачах нелинейного программирования записывают функцию Лагранжа с неопределенными множителями . А систему уравнений Эйлера записывают для функции Лагранжа: , . Совместно с уравнениями ограничений , система уравнений Эйлера – Лагранжа позволяет найти неизвестных функций и (примем без доказательств).
Аналогично определяются экстремали, если уравнение связи представлены дифференциальными уравнениями первого порядка: , k=1,2,...
Если уравнения ограничений записаны в интегральной форме (изопериметрические ограничения) , , то введение дополнительной переменной , , позволяет привести эти уравнения к дифференциальным с добавлением q- новых функций, причем, добавляются граничные условия:
, .
Функция Лагранжа будет иметь вид: ,
система уравнений Эйлера - Лагранжа
, ;
, .
Из последней системы получаем систему:
и .
Следовательно, при наличии изопериметрических ограничений в функцию Лагранжа включаются подынтегральные выражения, умноженные на коэффициенты Лагранжа.