Стратегия решения задачи. Находятся точки х * локальных экстремумов с помощью необходимых и достаточных условий минимума и максимума первого и второго порядка при ограничениях типа

Находятся точки х * локальных экстремумов с помощью необходимых и достаточных условий минимума и максимума первого и второго порядка при ограничениях типа равенств (порядок условий определяется порядком используемых производных). Вычисляются значения f (х *) функции в найденных точках локального экстремума.

Утверждение 3.1 (необходимые условия экстремума первого порядка).

Пусть х * есть точка локального экстремума в задаче (3.7). Тогда найдутся числа λ₀ ^*, λ₁ ^*, …, λ _m ^* не равные одновременно нулю и такие, что выполняются следующие условия:

— условие стационарности обобщенной функции Лагранжа по х:

— условие допустимости решения:

g_j (x *) = 0, j = l, …, m. (3.8 б)

Если при этом градиенты ∇ g ₁ (x *), … ∇ g_m (x *), в точке х * линейно независимы (выполняется условие регулярности), то λ₀ ^* ≠ 0.