С учетом временной стоимости денег

(равномерное распределение спроса)

Рассмотрим отдельно случай, когда случайный спрос на товар для анализируемого периода времени [0; Т ], применительно к которому реализуется одноразовая поставка, имеет равномерное распределение вероятностей на [ а; в ]. Напомним, что в таком случае f(x) = 1/(в - а) для х (а; в) и f(x) = 0 для х (а; в). Следовательно, интересующие нас определенные интегралы будут представлены следующими функциями переменной q:

Заметим, что сумма последних двух найденных выражений составляет

Наконец,

Поэтому, для среднего ожидаемого суммарного дохода Д(q) к моменту окончания периода времени [0; Т ] получаем следующее равенство, представляющее этот показатель как функцию переменной q:

Д(q)=(1+ )× (С_П+Р_П) ∙

Соответственно интересующая нас функция F(q) для анализируемого случая принимает вид

F (q)=(1+ )× (С_П+Р_П) ∙

Избавляясь здесь от выражений (слагаемых), которые не зависят от выбора объема поставляемой партии товара, домножая при этом для удобства записи оставшееся выражение на 2(b-a) и меняя его знак на противоположный, рассмотрим эквивалентную задачу минимизации полученной таким образом функции f(q), т.е. задачу

f(q) → min,

где

f(q)=

Легко видеть, что здесь первое слагаемое представляет собой линейную функцию (переменной q), а второе – гиперболу. Таким образом, вид графика суммарной функции f(q) вполне аналогичен представленному ранее на рис. 1.2. Поэтому минимум функции f(q) существует. Единственную точку минимума (обозначим ее через q⁰) находим из так называемых условий первого порядка (из уравнения ). А именно, опуская промежуточные преобразования (из-за ограниченности объема работы), приведем окончательную формулу для соответствующей точки минимума:

Заметим, что очевидным образом выполняется неравенство q⁰ a. В частности, при отсутствии накладных расходов (т.е. при С₀ = 0) получаем равенство q⁰= a. При очень больших накладных расходах (т.е. в случае С₀ → ) может оказаться, что найденный параметр q⁰ окажется большим, чем b, т.е. точка минимума функции f(q) не попадет в область соответствующих ограничений q . Оптимальное значение q^* объема одноразовой поставки в рамках рассматриваемой модели находим с учетом указанных ограничений и отмеченного ранее вида графика оптимизируемой функции: