Уравнения, описывающие МТ-поле в горизонтально-слоистой среде

Теория электромагнитного поля основана на системе уравнений Максвелла. В областях, где среда однородна и изотропна, и при отсутствии сторонних источников уравнения Максвелла принимают вид:

Здесь и - напряженности электрического и магнитного полей, , и -свойства среды (сопротивление, диэлектрическая и магнитная проницаемости).

Обычно в структурной электроразведке рассматриваются немагнитные горные породы, для которых равна - магнитной проницаемости вакуума.

В квазистационарном приближении токами смещения (вторым членом в правой части первого уравнения Максвелла) пренебрегают по отношению к токам проводимости (первому члену). Тогда первое уравнение Максвелла записывается следующим образом:

При рассмотрении гармонических полей в электроразведке применяется символический метод, заключающийся в представлении векторов, описывающих поле, в виде , где - сам вектор, - его комплексная амплитуда, - круговая частота, - время. Для комплексных амплитуд электрического и магнитного полей уравнения Максвелла принимают вид:

Переходя к координатной записи первого уравнения Максвелле, получим:

Поскольку в нашей модели поле и разрез не меняются по горизонтали, все горизон-тальные производные в этом уравнении равны нулю и оно может быть упрощено:

(2.1)

Второе уравнение Максвелла в координатной записи принимает вид:

Аналогичным образом это уравнение может быть упрощено:

(2.2)

Вычленяя из уравнений (2.1) и (2.2) составляющие при , получим, что и . Таким образом, вертикальные компоненты электрического и магнитного полей в модели Тихонова - Каньяра отсутствуют.

Теперь вычленим из уравнения (2.1) составляющие при , а из уравнения (2.2) - составляющие при и запишем полученные уравнения в одну систему:

(2.3)

В другую систему включим уравнения, возникающие при вычленении из уравнения (2.1) составляющих при , а из уравнения (2.2) - составляющих при :

(2.4)

Независимость систем (2.3) и (2.4) свидетельствует о том, что МТ-поле в модели Тихонова - Каньяра состоит из двух независимых частей, называемых модами. Первая мода содержит компоненты и , а вторая - компоненты и .

Выражая из второго уравнения системы (2.3) и подставляя в первое, получим одномерное уравнение Гельмгольца для компоненты :

Аналогичным образом выражая из первого уравнения этой системы и подставляя во второе, получим одномерное уравнение Гельмгольца для :

Рис. 2. К вопросу о выборе

Введем волновое число . Поскольку квадратный корень из комплексного числа представляет собой двузначную функцию, будем брать то значение , реальная часть которого положительна (рис. 2). Действительная и мнимая части волнового числа могут быть записаны в виде:

Теперь одномерные уравнения Гельмгольца для и примут вид:

(2.5)

Полученные уравнения и являются исходными при решении прямой задачи МТЗ. Они описывают поведение поля внутри слоя, имеющего сопротивление .

Отметим, что такая же система уравнений может быть получена для моды, содержащей компоненты и путем преобразований системы (2.4). Таким образом, в модели Тихонова - Каньяра обе моды равнозначны. Поэтому в дальнейшем мы будем оперировать лишь модой, содержащей и , а все выкладки для и могут быть получены совершенно аналогичным способом.