Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n змінними:
Позначимо через [A] матрицю системи, через [C] - розширену матрицю, тобто матрицю [A] з приєднаним справа стовпцем рівних членів. Очевидно, що rang [C] розширеної матриці або дорівнює рангу матриці [A ], або на одиницю більший.
Теорема Кронекора-Капеллі. Система m лінійних рівнянь з n незалежними змінними сумісна тоді, коли ранг матриці [A] дорівнює рангу розширеної матриці [C]. Якщо ранг розширеної матриці дорівнює рангу матриці [A] і числу невідомих, тобто rang [А] = rang [C] =n, то система має єдиний розв’язок. Якщо ранг матриці менший, ніж число невідомих (rang [А] = rang [C] < n), то система рівнянь має безліч розв’язків.
Якщо ранг матриці [A] не дорівнює рангу матриці [C], то система лінійних рівнянь несумісна.
Розв’яжемо загальну систему лінійних рівнянь методом ЗЖВ. Припустимо, що умова Кронекера - Капеллі виконується:
rang [А] = rang [C] = k < n.
Перепишемо систему рівнянь у вигляді
.
Подамо цю систему у вигляді жорданової таблиці:
x1 | ... | xk | xk+1 | ... | xn | ||
y1 | a11 | ... | a1k | a1,k+1 | ... | a1n | -b1 |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
yk | ak1 | ... | akk | ak,k+1 | ... | akn | -bk |
yk-1 | ak+1 | ... | ak+1,k | ak+1,k+1 | ... | ak+1,n | -bk+1 |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
ym | am1 | ... | amk | am,k+1 | ... | amn | -bm |
Оскільки rang [А] = rang [C] = k, то над цією таблицею можна послідовно виконати k кроків ЗВЖ. Не порушуючи загальності, можна вважити, що в результаті k кроків ЗВЖ ми змінили перші залежні змінні на перші незалежні змінні . Після k кроків таблиця набуває вигляду:
|
|
y1 | ... | yk | xk+1 | ... | xn | ||
x1 | ... | ... | |||||
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
xk | ... | ... | |||||
yk+1 | ... | ... | |||||
ym | ... | ... |
Загальний розв’язок має вигляд:
Залежні змінні називають базисними, а весь набір х1,..., хк базисом системи змінних хj . Незалежні змінні у загальному розв'язку системи називають вільними змінними. Якщо вільним змінним надати певних значень xk+1= то дістанемо частинний розв'язок системи:
Оскільки вільним змінним можна надавати довільних значень, то система має нескінченну множину розв'язків.
Частинний розв'язок системи рівнянь, в якому вільним змінним надається значення, що дорівнює нулю,називається базисним:
Базисними можуть бути будь-які k із n змінних. Відомо, що число різних підмножин із k елементів, складених із множини n змінних, дорівнює числу комбінацій із n елементів по k, тобто
Насправді базисних розв'язиків може виявитися менше,оскільки деякі з визначників k-го порядку, складених із елементів, що розміщені на перетині k різних рядків та k різних стовпців, можуть дорівнювати нулю. Залежні змінні уk+1,...,уm виражаються лінійно через решту :
|
|
Приклад
Знайти загальний розв'язок системи рівнянь
Перепишемо систему у такому вигляді:
Тепер подамо її у табличній формі:
x1 | x2 | x3 | x4 | ||
y1 | -4 | ||||
y2 | -1 | ||||
y3 | -1 | -2 | -2 |
Над отриманою таблицею послідовно виконаємо максимально можливе число кроків ЗЖВ, беручи кожний рядок і кожен стовпець як рoзв'язувальний не більше одного разу:
y1 | x2 | x3 | x4 | ||
x1 | -2 | -3 | |||
y2 | -1 | ||||
y3 | -2 | -4 | -2 |
y1 | y2 | x3 | x4 | ||
x1 | -2 | ||||
x2 | -2 | -1 | |||
y3 | -2 |
Із таблиці випливає, що rang[A]=rang[C]=2, оскільи вгору "перекинули" лише дві змінні, а вільний член у третьому рядку дорівнює нулю. Система має такий розв'язок:
Якщо надати х3 та х4 певних сталих значень, то дістанемо частинний розв'язок..