Якщо у будь-якій матриці виділити r довільних стовпців та r довільних рядків, то з елементів матриці, які містяться на перетині цих рядків та стовпців, можна скласти визначник r-го порядку. Його називають визначником або мінором r-го порядку.
Рангом матриці називають число, яке дорівнює найвищому порядку її мінору, відмінного від нуля. Ранг матриці прийнято позначати rang[A], або r[A].
Для визначення рангу прямокутної матриці зручно користуватися ЗЖВ. Нехай задано прямокутну матрицю [A], яка складається з m рядків та n стовпців.
Складаємо систему з m рівнянь, для яких коефіцієнтами при вільних змінах будуть елементи матриці [A].
Перепишемо цю систему у табличній формі:
x1 | x2 | ... | xn | |
y1 | a11 | a12 | ... | a1n |
... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... |
ym | am1 | am2 | ... | amn |
Виконаємо максимально можливе число кроків ЗЖВ, замінюючи залежні змінні на незалежні ї навпаки.
Припустимо, що k-максимально можливе число кроків ЗЖВ, то після останнього перетворення таблиця набуде вигляду:
y1 | ... | yk | xk+1 | ... | xn | |
x1 | a11 | ... | a1k | x1,k+1 | ... | a1n |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
xk | ak1 | ... | akk | ak,k+1 | ... | akn |
yk+1 | ak+1,1 | ... | ak+1,k | ... | ||
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
ym | am1 | ... | amk | ... |
Подальша заміна залежних змінних на незалежні неможлива, оскільки на перетині їхніх рядків та стовпців стоять нулі. Не порушуючи загальності, можна вважати, що поміняти можна перші k незалежні змінні на k перші залежні змінні. Тоді у жордановій таблиці елементи матриці порядку (m-k)*(n-k), які розміщені на перетині j-x рядків та i-x стовпців, будуть нулями. Звідси робимо висновок, що ранг матриці дорівнює числу максимально можливих послідовних кроків жорданових виключень, здійснених над жордановою таблицєю, елементами якої є елементи матриці, причому кожний рядок і кожний стовпець може бути вибраний як роз’вязувальний не більше одного разу.
Залежні змінні , які непереміщені у верхній рядок таблиці, лінійно виражаються через змінні , зміщені у верхній рядок таблиці. Цю залежність можна легко записати, враховуючи останню жорданову таблицю:
.