Тема 14. Умова арбітражу та ефективний ринок. Рівняння арбітражу

Обсяги сеньйоражу можуть бути встановлені на такому рівні, щоб покривати бюджетний дефіцит і нові запозичення. За відомого потоку майбутнього «чистого» сеньйоражу S_N = S_N (t) та виконання умови збіжності звичайне диференціальне рівняння

можна записати в еквівалентній інтегральній формі

(2)

що легко перевірити диференціюванням. Розв’язок рівняння параметрично залежить від функції S_N (t) і має глибокий економічний зміст. Якщо невласний інтеграл у його правій частині збігається, то у цьому разі він являє собою дисконтовану за дохідністю r > 0 до поточного моменту t поточну вартість майбутнього потоку сеньйоражу. Тобто b (t, S) — це ринкова вартість державного боргу, яка є скінченною величиною, незважаючи на невід’ємність параметра дохідності (r > 0). Отже, використання ринкової вартості боргу в економічних обчисленнях і в прийнятті економічно обґрунтованих рішень на перспективу є цілком виправданим і обґрунтованим, оскільки відображає в кожен момент часу можливість еволюції, наприклад перепродажу, боргу в майбутньому.

Треба наголосити, що рівняння (2) є, власне, умовою арбітражу. З погляду приватного інвестора це рівняння формує ринкові вимоги щодо дохідності державного боргу. З погляду уряду умова стверджує, що потреба в обслуговуванні поточного боргу (rb) визначає обсяги як сеньйоражу , так і додаткового розміщення боргів (b) на вільному ринку. Закріплення норм дохідності ринком або політикою обмежує привабливість нових облігацій, а отже, можливості держави щодо розміщення додаткових боргів. У цьому разі природно вважати, що уряд може брати в борг лише за умови 0 < a < r, тобто купонна дохідність є додатною:

Зрозуміло, що уряд як монопольний емітент боргових зобов’язань свою коротку позицію на ринку облігацій може забезпечити, лише переконавши приватних інвесторів зайняти довгу позицію. З погляду приватних інвесторів — власників реальних грошових балансів і реальних боргів держави — безризикова норма відсотка диктує загальні вимоги інвесторів до дохідності державних облігацій, тоді як сеньйораж забезпечує їхні поточні доходи чи купонні виплати. За заданих значень r і d загальна фінансова збалансованість визначатиметься обсягом нових позик чи зміною капітальної вартості активів a, де r = d + a.

3. Рівняння динаміки суспільного боргу.

Якщо чинники монетарної природи, зокрема сеньйораж, відсутні, то накопичений упродовж певного періоду дефіцит бюджету являє собою обсяг державного боргу.

Виникає запитання: наскільки великими можуть бути обсяги боргів, щоб у держави не виникало проблем щодо їх погашення? Для цього оцінюються верхні межі для питомого боргу, який розуміють як відношення боргу (номінального) до ВВП (номінального). Вважається, що коли питомий борг не перевищує 50—70 %, то з його виплатами практично не буває проблем для зростаючої економіки.

Позначимо борг через : де Y (t) — обсяг реального ВВП у t -му році.

Зміна боргу за нескінченно малий період часу дорівнюватиме: де — зміна реальних обсягів державного боргу за нескінченно малий період часу; — зміна реального ВВП за нескінченно малий період часу; — темпи приросту реального доходу (ВВП).

Приріст (нескінченно мале) реального боргу на момент часу t становить за визначенням величину бюджетного дефіциту:

Ця формула є просто іншим виразом рівняння державного боргу, якщо його продиференціювати за часом t (і навпаки).

Права частина рівняння — це бюджетний дефіцит, котрий складається з первинного чи безвідсоткового дефіциту (G – T) і сплат по накопиченому боргу, що здійснюються за номінальною ставкою дохідності r державних облігацій. Підставляючи, отримаємо диференціальне рівняння стосовно до питомого боргу:

або

де — величина (обсяг) питомого первинного дефіциту (дефіциту без урахування нарощених відсотків).

Для спрощення аналізу вважатимемо постійними величинами, значення котрих відомі:

Припустимо, що відоме і значення питомого боргу для деякого моменту часу, що береться за початковий, тобто z (0) = z ₀.

У даній моделі (за відсутності монетарних чинників) бюджетний дефіцит може фінансуватися в міру перевищення обсягів податків над поточними урядовими витратами, тобто за умови

а також за рахунок нових позик.

Рівняння боргу є звичайним неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку, котре можна переписати у стандартному вигляді:

Розв’язком є функція питомого боргу, що відповідає обсягам його погашення:

Після знаходження розв’язку чи траєкторії проблема обслуговування боргу, тобто здійснення регулярних сплат для його погашення, зводиться до дослідження поведінки траєкторії питомого боргу: якщо остання прямує до деякої постійної величини (стаціонарної точки чи стаціонарного стану), що не перевищує верхньої межі допустимого боргу, то борги можуть бути сплачені. У протилежному разі сплати асимптотично не є можливими, а банкрутство стає неминучим.

Нехай у деякий початковий момент часу t = 0 питомий борг, наприклад, перевищує цю початкову величину, тобто тоді проблема сплати боргів зводиться до того, щоб з’ясувати, зростає чи зменшується ця різниця у часі. Отже, якщо ставка дохідності державних облігацій r перевищує зростання доходу (ВВП чи національного доходу), то питомий борг зростає до нескінченності, оскільки економічних джерел покриття боргів не існує. Економічний зміст даного висновку, є надзвичайно важливим: за депресивної економіки борги не можуть бути сплачені, оскільки за a £ 0 система завжди є нестійкою.

З. Загальні умови стабілізації державного боргу. Динаміка сеньйоражу.

Розглянемо спрощену детерміновану ситуацію фінансування державного боргу та бюджетного дефіциту. Не розрізнятимемо також внутрішні й зовнішні борги, не розглядатимемо й залишимо поза увагою існування приватного боргу. Обсяг державного боргу розглядатимемо як облігації, що гарантують отримання (наближено) майже безризикового доходу протягом теоретично нескінченного періоду часу. Попит на борги визначається (наближено) лише залежно від їхньої дохідності, ігнорується можливість використання короткотермінових боргів як субститутів грошей.

Рівняння зростання суспільного боргу чи приватного багатства має в номінальних термінах вигляд:

(1)

де — обсяг сеньйоражу чи емісії грошей у номінальному вираженні; — обсяг додаткового розміщення на вільному ринку державних боргових зобов’язань; P (G — T) — дефіцит державного бюджету в номінальному вираженні; G — бюджетні витрати в реальному вираженні; T — реальні податки, що не змінюють обсягів випуску; RB — обсяг обслуговування державного боргу за ставкою номінального відсотка R > 0.

Якщо ввести змінні щодо реальних значень грошових балансів і реальної вартості боргу , вважаючи їх диференційованими функціями часу, то рівняння перепишеться як

(2)

де — обсяг реального сеньйоражу; r = R — p — реальна безризикова ставка відсотка за державними борговими зобов’язаннями; — темпи фактичної інфляції чи інфляційних очікувань.

Коли сеньйораж є більшим за реальний поточний дефіцит:

то обсяг розміщення боргових зобов’язань буде меншим за величину обслуговування поточного боргу. Тому отримати стійкий розв’язок рівняння (2) за позитивного значення норми реальної дохідності облігацій r > 0 можливо лише за умови, що обсяги сеньйоражу перевищуватимуть реальний дефіцит бюджету. В цьому разі загальні обсяги боргових зобов’язань можуть регулюватися, зокрема, через проведення певної монетарної політики.

Наприклад, обсяги сеньйоражу можуть бути встановлені на такому рівні, щоб покривати бюджетний дефіцит і нові запозичення. За відомого потоку майбутнього «чистого» сеньйоражу S_N = S_N (t) та виконання умови збіжності звичайне диференціальне рівняння

можна записати в еквівалентній інтегральній формі