Комплексные векторы

В квантовой механике широко применяют векторы, координаты которых могут быть комплексными числами. В этом случае имеются некоторые особенности в правилах построения скалярного произведения. Они, в основном, сводятся к установлению соотношения между ко- и контравекторами. В квантовой механике ковекторы принято обозначать символом á x | и называть бра -векторами, тогда как контравекторы обозначаются символом | x ñ и называются кет -векторами. Один и то же вектор можно представить и в виде бра-вектора, и в виде кет-вектора. При этом они будут отличаться друг от друга не просто способом расположения (горизонтальным или вертикальным) чисел-координат, но и тем, что их координаты (с одними и теми же номерами) являются комплексно сопряженными между собой. (Комплексно сопряженными являются два комплексных числа, отличающиеся только знаком при мнимой части. Например, Z = 2 + 3i и Z * = 2 – 3i.) Особенность взаимно сопряженных комплексных чисел состоит в том, что их произведение, называемое квадратом модуля комплексного числа, всегда является действительным числом. Например:

| Z |² = Z × Z * = (2 + 3i)(2 – 3i) = 2² + 3² = 13

Поэтому, если перемножить (в смысле скалярногоумножения) два вектора, координаты которых взаимно сопряжены, то квадрат модуля любого вектора будет не только действительным, но и положительным числом. Следовательно, из него всегда можно извлечь корень и определить длину (модуль) вектора. Подчеркнем, что два вектора, отличающиеся типом (бра- и кет-), и координаты которых взаимно комплексно сопряжены, называются сопряженными векторами (или, более полно, эрмитово сопряженными), что отмечается верхним индексом (⁺).

Если векторы-сомножители различны, то их скалярное произведение не будет действительным числом. Такие комплексные числа, являющиеся скалярным произведением двух комплексных векторов:

С = á х | у ñ

называются квантовомеханическими амплитудами и занимают центральное место в математическом аппарате квантовой механики. Отсюда понятно и происхождение названия: первая половина скобки (от англ. — bracket), изображающей скалярное произведение, называется бра-, а вторая половина — кет-вектором.