Линейные комбинации и линейная зависимость

Выражение вида

называется линейной комбинацией векторов , ,..., . Числа , , …, называются ее коэффициентами.

Если вектор равен линейной комбинации векторов , ,..., , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы , , …, .

Система векторов , ,..., называется линейно зависимой, если существуют числа , , …, , не все равные нулю такие, что

В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Предложение 1.1. Система векторов, содержащая не менее двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда какой-нибудь вектор этой системы представим в виде линейной комбинации остальных.

Доказательство. Пусть система векторов , , …, линейно зависима. В соответствии с определением существуют числа , , …, , не все равные нулю такие, что .

Пусть, например, . Тогда

т.е. вектор представлен в виде линейной комбинации векторов , , …, .

Обратно, пусть какой-нибудь вектор, например , представим в виде линейной комбинации остальных:

Отсюда

Так как коэффициент при здесь не равен нулю, то векторы линейно зависимы.

Замечание 1.1. Понятие линейной зависимости является алгебраическим. Геометрические его выражения – коллинеарность в двумерном случае и компланарность – в трехмерном.

Предложение 1.2. Если при добавлении вектора к линейно независимой системе , , …, получаем линейно зависимую систему, то вектор линейно выражается через векторы , , …, .

Доказательство. Найдутся такие числа , , …, , , не все равные нулю, что